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Sí. La construcción básica es en realidad bastante simple. Quieres una extensión de Galois generados por su raíz, de modo que--por la normalidad, cualquier polinomio separable con una única raíz en el campo se divide por completo.
Dado que el grado es $3$, esto quiere decir que queremos una extensión con grupo de Galois $\Bbb Z/3\Bbb Z$. Por teoría general sabemos que todos los abelian extensiones están contenidas dentro de cyclotomic extensiones (o al menos que todos los cyclotomic extensiones de abelian, eso es suficiente para encontrar un ejemplo.)
Así que echemos un vistazo a los números de $n$ tal que $3|\varphi(n)=[\Bbb Q(\zeta_n):\Bbb Q]$, donde aquí $\zeta_n$ es una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad y de la $\varphi$ es de Euler totient función.
Un número de $n=7$. A continuación, dentro de $\Bbb Q(\zeta_7)$ tenemos un Galois subcampo de grado $3$, la cual es fija, por lo tanto, cualquier elemento de orden $2$ porque $\varphi(7)=6=2\cdot 3$. Desde Compleja conjugación es uno de esos (de hecho el único), podemos ver que $\Bbb Q\left(\cos\left({2\pi\over 7}\right)\right)=\Bbb Q\left(\zeta_7+\zeta_7^{-1}\right)=\Bbb Q(\zeta_7)\cap\Bbb R$ es una extensión de Galois de $\Bbb Q$ grado $6/2=3$. Por lo tanto el polinomio $q$ puede ser llevado a ser el polinomio mínimo de a$\zeta_7+\zeta_7^{-1}$$\Bbb Q$.
Además, si desea calcular el polinomio de forma explícita, siempre se puede hacer el truco donde calcular el polinomio característico de la multiplicación por $\zeta_7+\zeta_7^{-1}$ sobre la base $\{1,\zeta_7+\zeta_7^{-1}, \zeta_7^2+\zeta_7^{-2}\}$$\Bbb Q\left(\zeta_7+\zeta_7^{-1}\right)$, lo que da la matriz
$$\begin{pmatrix}
\cdot & |& 1 & \zeta_7+\zeta_7^{-1} & \zeta_7^2+\zeta_7^{-2} \\
--- &\cdot & --- & --- & ---\\
1 & | & 0 & 1 & 0 \\
\zeta_7+\zeta_7^{-1} & | & 2 & 0 & 1 \\
\zeta_7^2+\zeta_7^{-2} & | &-1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$
con polinomio característico
$$q(x) = \begin{vmatrix}
x & -1 & 0 \\
-2 & x & -1 \\
1 & 0 & x+1
\end{vmatrix} = x^3 +x^2-2x-1$$
que es un ejemplo claro.
Nitty gritty en caso de que no he hecho muchos de estos cálculos:
La idea es tener una base para $\Bbb Q\left(\zeta_7+\zeta_7^{-1}\right)$ y mire la matriz que resulta de multiplicar esta base por $\zeta_7+\zeta_7^{-1}$. Elegí la base $\{1, \zeta_7+\zeta_7^{-1}, \zeta_7^2+\zeta_7^{-2}\}$. ¿Cómo funciona la multiplicación por $\zeta_7+\zeta_7^{-1}$ afectar esto?
Esto se hace
$$\begin{cases}
1\mapsto \zeta_7+\zeta_7^{-1} \\
\zeta_7+\zeta_7^{-1}\mapsto (\zeta_7+\zeta_7^{-1})^2=2\cdot 1+1\cdot(\zeta_7^2+\zeta_7^{-2}) \\
\zeta_7^2+\zeta_7^{-2}\mapsto \zeta_7^3+\zeta_7^{-3}+\zeta_7+\zeta_7^{-1}
\end{casos}$$
Ahora sabemos que la suma de todas las $n^{th}$ raíces de la unidad es $0$, por lo que escribir aquí como
$$1+\zeta_7+\zeta_7^2+\zeta_7^3+\zeta_7^{-3}+\zeta_7^{-2}+\zeta_7^{-1}=0$$
así que tenemos $\zeta_7^3+\zeta_7^{-3}=-1-(\zeta_7+\zeta_7^{-1})-(\zeta_7^2+\zeta_7^{-2})$, lo que lo convierte en el último caso
$$\zeta_7^2+\zeta_7^{-2}\mapsto -1\cdot (1)\cancel{-1\cdot (\zeta_7+\zeta_7^{-1})}+\cancel{1\cdot (\zeta_7+\zeta_7^{-1})}-1\cdot(\zeta_7^2+\zeta_7^{-2})$$
$$=-1\cdot(1)-1\cdot(\zeta_7^2+\zeta_7^{-2})$$
Cada una de estas nos dan las filas de la matriz.
Finalmente, uno sólo calcula el polinomio característico y que produce la $q$ me mostró anteriormente.
