Un libro me pide probar una declaración pero creo que es falso

Question

El problema siguiente es de Cupillari las Tuercas y los Pernos de las Pruebas.

Demostrar la siguiente declaración:

Deje $a$ $b$ dos relativamente números primos. Si existe un $m$ tal que $(a/b)^m$ es un número entero, entonces $b=1$.

Mi pregunta es: Es la afirmación verdadera?

Creo que la afirmación es falsa, porque existe un $m$ tal que $(a/b)^m$ es un número entero, y sin embargo, $b$ no tiene que ser $1$. Por ejemplo, supongamos $m=0$. En este caso, $(a/b)^0=1$ es un número entero mientras $b \neq 0$.

Así que creo que la afirmación es falsa, pero estoy confundido, porque la solución en la parte de atrás del libro proporciona una prueba de que la declaración es verdadera.

Answer 1

El contraejemplo es válida. Pero la afirmación es cierta si $m$ se requiere para ser un número natural positivo o un número entero positivo.

Nota como alternativa, no es si verdad $m$ debe ser negativo.

En mi opinión, parece que se debían para asumir $m>0$.

Answer 2

Esta afirmación es cierta bajo ciertas condiciones. Deben asumir $b \neq 0$. Si $(a,b)=1$, fácilmente puede mostrar que $(a^n, b^n) = 1$. Esto significa que $(a/b)^n = a^n / b^n$ nunca es un número entero a menos que existe $n$, que $b^n = \pm 1$, pero significa $b = \pm 1$.

El caso donde $a = 0$ y $|b| > 1$ deben excluirse porque entonces $(a,b) > 1$.

Espero que ayude,