Problema sobre triángulos y círculos

Question

Yo era la solución de esta pregunta, y estoy golpeando la pared.

El círculo de $ω$ toca el círculo $Ω$ internamente en $E$. El centro de la $A$ $Ω$ está fuera de $ω$. Deje $BD$ ser de un diámetro de $Ω$ que es también tangente a $ω$. Suponga $ED >EB$. Deje $ED$ se cruzan $ω$$F$. Si $DF=2EF$, ¿cuál es la magnitud de $EDB$ en grados?

Este es el diagrama que hice:

Sé que $\angle{BED}=90°$, lo $DE^2+BE^2=4AD^2$. Creo que podría construir una línea de $F$, de corte $BD$$G$, por lo que el $BE||FH$, y, a continuación, utilizando la similitud, pero no estoy seguro.

Alguien puede ayudar?

Answer 1

La primera observación a hacer es eso $$\triangle ECF \sim \triangle EAD,$$ because there is an obvious homothety with center $E$ that maps the circle $\omega$ to $\Omega$; moreover, since $AD = AE $ and $ CF = CE$ are radii of $\Omega$ and $\omega$ respectively, the aforementioned triangles are isosceles. Since $DF = 2EF $, then $ AC = 2EC = CGA 2r$, where $r$ is the radius of $\omega$. Consequently, if $G$ is the point of tangency of $\omega$ to diameter $BD$, $\triangle $ is right with $CA = 2r $ and $ GC = r$. Hence $$\angle CAG = 2 \angle EDB = 30^\circ,$$ and $\ EDB del ángulo = 15 ^ \circ$.