¿Están los planos en$3$ - dimensiones bidimensionales?

Question

¿Están los planos en$3$ - dimensiones bidimensionales?

La razón por la que pregunto es porque matemáticamente el plano$xy$ - existe en el espacio$3$ D pero parece ser$2$ D, pero ¿cómo puede ser que algo$2$ D esté en$3$ Espacio D? Por lo tanto, concluyo que un plano en el espacio$3$ D debe tener un grosor que sea infinitesimal. Sin embargo, ¿no es esto una contradicción, ya que los planos tienen un grosor del de un punto y como un punto no tiene grosor tampoco lo tiene el plano?

Answer 1

La primera cosa a mencionar cuando se habla del término dimensión es que en matemáticas no hay una definición exacta de este término. Así, cuando hablamos de dimensiones, la primera cosa a hacer es definir qué dimensión de los medios. Para el tipo de geometría que usted use, en la definición del concepto de dimensión de un matemático llamado álgebra lineal es el más apropiado. En este sentido, la dimensión es una propiedad de los llamados espacios vectoriales.

• Empecemos por definir el término espacio vectorial (me van a considerar únicamente los espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ aquí para simplificar las cosas): El conjunto de

  $V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\}$

  es un espacio vectorial de dimensión $n$. Por favor nota: No todo espacio vectorial es de esta forma!

• Comentario: De la escuela a la que usted puede saber $\mathbb{R}^2$ (que es un espacio vectorial de dimensión 2) y $\mathbb{R}^3$ (que es un espacio vectorial de dimensión 3).

• La pregunta interesante es: Dado un subconjunto $U$$V$, ¿cuál es su dimensión? Sólo podemos definir cuál es la dimensión de la $U$ si $U$ sí es un espacio vectorial. $U\subseteq V$ es un espacio vectorial si y solo si existe el $v_1,v_2,\ldots,v_m\in V$ tal que

  $U=\{a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_mv_m\mid a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}\}$

• Ahora dos de los casos puede ocurrir: O $U=V$ mantiene o $U\subset V$ mantiene. Para $U=V$, la dimensión de la $U$ es obviamente $n$. Para $U\subset V$, todavía tenemos que definir qué dimensión significa.

• Para definir el término dimensión, primero tenemos que definir lo que son linealmente independientes significa: Un conjunto $W=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\},W\subseteq V$ se denomina linealmente independientes, si la ecuación

  $a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_mw_m=\mathbf{0}\quad(a_i\in\mathbb{R})$

  sólo se mantiene para $a_1=a_2=\ldots=a_m=0$.

• Por ejemplo: El conjunto a $\{(1,0,0),(0,1,0),(3,2,0)\}$ no es linealmente independiente, porque

  $3\cdot (1,0,0)+2\cdot (0,1,0)-(3,2,0)=(0,0,0)$

  Por otro lado, el conjunto de $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ es linealmente independiente, porque

  $a_1\cdot (1,0,0)+a_2\cdot (0,1,0)=(0,0,0)$ implica $a_1=a_2=0$.

• Ahora podemos definir la dimensión de lo que significa:

  $U=\{a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_mv_m\mid a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}\}$

  tiene dimensión $m$ si y sólo si $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ es un conjunto linealmente independiente.

• Ejemplo (continuación del ejemplo anterior):

  $\{a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3,(3,2,0)\mid a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\}$

  es el mismo espacio vectorial como

  $\{a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)\mid a_1,a_2\in\mathbb{R}\}$;

  su dimensión es 2 (debido a que $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ es linealmente independientes).

• Comentario: Dado un espacio vectorial $U$, su dimensión es único.
• Nota: Si $n$ es la dimensión de $V$, $m$ es la dimensión de la $U$$U\subseteq V$, $m\leq n$ mantiene.

• Si $U\subseteq V$ es un espacio vectorial y $v_0\in V$,

  $U^\prime=v_0+U=\{v_0+a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_mv_m\mid a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}\}$

  se llama afín espacio vectorial. La dimensión de $U'$ se define como la dimensión de $U$.

En los puntos anteriores, hemos definido el término dimensión de espacios vectoriales. Lo que queda por hacer es mostrar cómo los espacios vectoriales están relacionados con la geometría básica:

• Cualquier punto puede ser representado por un afín espacio vectorial $\{v_0\}\subseteq V$. Por lo tanto, los puntos de dimensión 0.
• Cualquier línea puede ser representado por un afín espacio vectorial $\{v_0+a_1v_1\mid a_1\in\mathbb{R}\}$ donde $v_0\in V$ $v_1\in V$ se dan. Por lo tanto, las líneas de dimensión 1. (El set contiene los puntos que se encuentran sobre la línea).
• Cualquier avión puede ser representado por un afín espacio vectorial $\{v_0+a_1v_1+a_2v_2\mid a_1,a_2\in\mathbb{R}\}$, donde $v_0\in V$, $v_1\in V$ y $v_2\in V$ se dan y $v_1,v_2$ son linealmente independientes. (El set contiene los puntos que se encuentran en el avión).

Por favor nota: no Hay límite en cómo es grande una dimensión puede ser, por ejemplo, también se puede definir espacios vectoriales de dimensión 1000.

Answer 2

Sí, es bidimensional. Definimos la dimensión de un espacio vectorial (o un subespacio de un espacio vectorial) como la cardinalidad de un conjunto de expansión mínimo. Cualquier plano en$\mathbb{R}^3$ puede escribirse como el intervalo de dos vectores.

Answer 3

Sí, los planos en 3 dimensiones del espacio de 2 dimensiones.

En matemáticas, la dimensionalidad puede ser definido de diferentes maneras dependiendo del objeto que se está hablando. A grandes rasgos, sin embargo, la dimensión de un objeto (como un avión) es el número de coordenadas necesarias para especificar un punto en el objeto.

Usted menciona que el plano xy "aparece" a ser de 2 dimensiones, y que están a la derecha. Es de 2 dimensiones, porque para especificar cualquier punto en el plano xy se necesitan al menos 2 coordenadas, y con 2 coordenadas, puede especificar cualquier punto en el plano. Y esta propiedad no se limita a lo que nosotros pensamos como el plano xy. Esto es cierto de cualquier plano.

Por último, no veo ninguna contradicción en lo que usted menciona sobre el "espesor" de un avión. Sólo como un punto que se considera como no tener el tamaño de un avión puede ser pensado como no tener espesor, lo que significa que si usted se mueve una distancia infinitesimal en una dirección perpendicular al plano, que ya no será en el avión.