¿Qué propiedades están permitidas en el axioma de comprensión de ZFC?

Question

Estoy tratando de entender los axiomas de ZFC. El axioma esquema de especificación o la comprensión de los axiomas dice:

Si a es un conjunto y $\phi(x)$ formaliza una propiedad de los conjuntos entonces existe un conjunto C cuyos elementos son los elementos de Una con esta propiedad.

He leído Es el Subconjunto Axioma Esquema en ZF necesario? y entender que los axiomas de ZFC se definen en el lenguaje de la lógica de primer orden. No entiendo la parte 'phi(x) formaliza una propiedad de los conjuntos'. Si permitimos que cualquier propiedad, por ejemplo:$\phi(x) = x \notin x$, entonces podemos obtener una paradoja de Russell. Pero decir cualquier propiedad con la excepción de $\phi(x) = x \notin x$ no eliminaría todas las paradojas. Por lo tanto tenemos que tener alguna manera de decir que las propiedades de $\phi(x)$ no hacer ZFC inconsistente.

Es mi entendimiento correcto? ¿Qué significa "formalizar una propiedad de un conjunto'? ¿Cómo sabemos que una propiedad $\phi(x)$ no hace ZFC incompatible?

Answer 1

Para formalizar una propiedad de un conjunto simplemente significa dar una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Que es $\phi(x)$ no es nada sino una fórmula en el lenguaje.

Ahora, para cada propiedad de los conjuntos de $\phi(x)$ hay un axioma que dice que, dado cualquier conjunto de $A$ el conjunto $\{x\in A\mid \phi(x)\}$ existe. Este es el axioma esquema de especificación. Russele de la Paradoja de no aparecer aquí, ya que todavía no se puede formar el conjunto de $\{x\mid x\notin x\}$ no, ya que no se puede formular la propiedad $\phi(x)=x\notin x$ (claro que sí), pero basta ya de usar el axioma esquema de especificación sólo permiten crear este tipo de series como $\{x\in A\mid x\notin x \}$. Por el axioma de fundación de este ajuste es el conjunto vacío.

Answer 2

Como se mencionó anteriormente, por "$\varphi(u)$ formaliza una propiedad de los conjuntos" nos acaba de decir que $\varphi(u)$ es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Afortunadamente, casi todos de la matemática puede ser formalizado dentro del lenguaje de la teoría de conjuntos, y así mientras usted se pega con matemáticamente significativos de propiedades, puede utilizar la Comprensión para la construcción de subconjuntos de cualquier conjunto dado. Por desgracia, la Comprensión no podía permitir que usted para construir el conjunto de todos los caballos felices (hasta le han dado un matemáticamente definición significativa de un caballo feliz).

La ZFC axiomatization lado-pasos el problema de Russell paradójico conjunto (en contraposición a simplemente la ilegalización de su formación, como fue hecho en el Russell teoría de tipos, y Quine las Nuevas Fundaciones).

Se hace de la siguiente manera: Ingenua teoría de conjuntos puede ser pensado como esencialmente axiomatizaed por el Axioma Esquema de sin restricciones de Comprensión:

Para cualquier fórmula $\varphi (u)$ (sin apariciones libres de la variable $y$), el universal cierre de $$( \exists y ) ( \forall u ) ( u \in y \leftrightarrow \varphi (u) )$$ es una instancia de sin restricciones de Comprensión.

(Nosotros no permitir apariciones libres de $y$$\varphi (x)$, de modo que esta nueva serie no está definida como la colección de todos los objetos en relación a esto hasta ahora indeterminado de conjunto; de lo contrario, podríamos tomar a $\varphi (x) \equiv x \notin y$, y obtener diferentes paradójico conjunto: $y = \{ x : x \notin y \}$.) Es decir, para cualquier conjunto teórico de la propiedad $\varphi(u)$ que se puede pensar, no es un conjunto cuyos elementos son precisamente todos aquellos objetos $u$ satisfacción $\varphi (u)$. Como un ejemplo, hay un conjunto universal, dado por tomar $\varphi(u) \equiv u = u$: $$V = \{ u : u = u \}.$$ Russell's paradoxical set is given by the formula $\varphi (u) \equiv u \noen u$: $$R = \{ u : u \notin u \}.$$

ZF(C) toma la postura de que no podemos utilizar la Comprensión de demostrar la existencia de intrínsecamente nuevos conjuntos, pero sólo la existencia de conjuntos que son definibles subconjuntos de los ya dados los conjuntos:

Para cualquier fórmula $\varphi (u)$ (sin apariciones libres de la variable $y$), el universal cierre de $$( \forall x ) ( \exists y ) ( \forall u ) ( u \in y \leftrightarrow ( u \in x \wedge \varphi (u) ))$$ es una instancia de la Comprensión.

Deje que nosotros, ingenuamente, pruebe a utilizar la Comprensión de obtener Russell paradójico conjunto. Dado cualquier conjunto $X$ podemos formar el conjunto de $$X^\prime = \{ u \in X : u \notin u \}.$$ However, if it happens that $X \noen X$, then $X \noen X^\prime$ (since $X^\prime$ only contains elements of $X$), but $X$ itself is a set which would be an element of Russell's paradoxical set $R$. So for any set $X$ which does not contain itself as an element, the associated $X^\prime$ cannot be Russell's paradoxical set. As luck would happen, another axiom of ZFC (the Axiom of Regularity) immediately implies that no set contains itself as an element, which then implies that we cannot use the Axiom of Comprehension with the formula $\varphi(u) \equiv u \noen u$ para demostrar la existencia de Russell paradójico conjunto.

Tenga en cuenta que debido a la Regularidad en virtud de ZF(C) tenemos $R = V$, y que puede ser fácilmente demostrado que ZF(C) demuestra que $V$ no es una: si $V$ fueron un conjunto, entonces, por definición,$V \in V$, contradiciendo la Regularidad!

Por supuesto, ZF(C) podría llegar a ser incoherente, y después de probar la existencia de Russell paradójico conjunto (y también refutar su existencia). La vida sería más fácil si podemos determinar exactamente qué fórmulas son problemas en las aplicaciones de la Comprensión (o Sustitución), pero la vida no siempre es fácil.

Answer 3

Hasta donde yo sé (como un aficionado matemático), si permite ajustar el auto-afiliación en el $\phi(x)$ la única contradicción que se obtiene es quizás una contradicción de los otros axiomas de ZFC, por ejemplo, la Regularidad. Cosas divertidas que puede ocurrir si se permiten referencias en $\phi(x)$ $A$- por ejemplo, todos los sistemas deben estar vacíos, de modo que se quieren evitar. Con sólo esta restricción en la $\phi(x)$, creo que usted debería ser capaz de evitar el conocido contradicciones de la teoría de conjuntos ingenua sin citar la Regularidad o de alguna manera la prohibición de auto-pertenencia.