¿Para qué sirve estudiar el problema de valores propios de Sturm-Louville?

Question

Tras una lectura superficial sobre el problema de valores propios de SL, no me sentí iluminado de inmediato y no encontré mucha utilidad, salvo saber que SL generaliza una clase más amplia de ecuaciones diferenciales.

En primer lugar, saber que una ED es un sistema de Sturm-Louville no produce automáticamente una solución. Además, no te da la forma de los valores propios. Creo que estos son los aspectos más importantes del estudio de la ED.

Lo que se hace, sin embargo, es resolver primero la ED y luego reconocer que es una ED SL y, por lo tanto, satisface un montón de propiedades útiles, como el valor propio mínimo, etc.

Pero aún sabiendo todo esto, no he sido capaz de resolver DE más rápido sabiendo que es una SL DE o que satisface una miríada de propiedades. ¿Por qué caracterizamos una EDO como un problema de SL?

Answer 1

no te da la forma de los valores propios. Creo que estos son el aspecto más importante del estudio de la ED.

Claro, es estupendo cuando podemos manipular hábilmente una ecuación y producir fórmulas explícitas para los valores propios y las funciones propias. El problema es que casi nunca ocurre . (Ocurre en los libros de texto, para problemas que tienen soluciones explícitas. Pero no para problemas que proceden de modelos no demasiado idealizados del mundo real).

Entonces, dado que no podemos resolver ecuaciones diferenciales de forma explícita, ¿qué debemos hacer? Estudiamos la existencia, la unicidad, el comportamiento cualitativo (principio máximo, suavidad, etc.) y la asintótica a corto y largo plazo. Todo ello nos ayuda a comprender mejor lo que modelizamos con una ecuación diferencial, incluso sin tener una solución explícita.

Una fuente de problemas de Sturm-Liouville es la ecuación de difusión $u_t = (p u_x)_x $ y sus parientes. Utilizando la separación de variables, encontramos que existen soluciones de la forma $$u(x,t) = \sum X_n(x)T_n(t) \tag1$$ donde $X_n$ son funciones propias de un problema SL y $T_n$ son funciones exponenciales con valores propios en el exponente. Pero, ¿todas las soluciones son de la forma (1), o nos falta alguna? Resulta que todas las soluciones lo son, porque las funciones propias del problema SL forman una base ortogonal de $L^2$ .

¿Las soluciones decaen o crecen como $t\to\infty$ ? Depende del signo de los valores propios.

Además, ¿cuál es la forma aproximada de $u$ cuando $t$ ¿es grande? Debería ser el perfil de la función propia para el valor propio más bajo. Ah, pero ¿hay una eigenfunción, o tenemos múltiples? Es decir, ¿todas las soluciones tienen un perfil similar a largo plazo, o hay diferentes escenarios? El estudio de la multiplicidad de valores propios sigue.

O tal vez queramos averiguar con qué rapidez los valores propios superiores abandonan la escena, al ser dominados por los inferiores. Introduzca los límites inferiores de la brecha espectral...