Es $L^2(\Omega)$ denso en $H^{-1}(\Omega)$ ?

Question

¿Es cierto que $L^2(\Omega)$ identificada con su propio dual, es densa en $H^{-1}(\Omega)$ ? $H^{-1}(\Omega)$ es el dual de $H^1_0(\Omega)$ y $H^1_0(\Omega)$ es el $H^1$ -cerrado de funciones suaves con soporte compacto contenidas en $\Omega$ . El $H^1$ El producto interno de un par de funciones es la suma de sus $L^2$ producto interno y el $L^2$ producto interno de sus derivadas de primer orden.

Ps 1: Estoy leyendo el documento de Richard Falk de 1974 ( http://www.ams.org/journals/mcom/1974-28-128/S0025-5718-1974-0391502-8/S0025-5718-1974-0391502-8.pdf ) y allí, en la sección 3, utilizando su Teorema 1, parece utilizar el "hecho" de que $L^2(\Omega)$ es denso en $H^{-1}(\Omega)$ . Tengo problemas para comprobarlo. ¿Pueden ayudarme, por favor? Gracias,

Answer 1

Lo tengo. Estaba tratando de conseguir esto de una manera elemental. Vamos a denotar por $((u,v))$ el producto interno en $H^1$ , por $(u,v)$ el producto interno en $L^2$ y por $<f,v>$ la acción de $f$ en $v$ cuando $f$ está en $H^{-1}$ y $v$ está en $H_0^1$ .

Dejemos que $f\in H^{-1}$ . Desde $((\cdot,\cdot))$ es un producto interno sobre $H_0^1$ además, por el teorema de la representación de Riesz existe $u\in H_0^1$ tal que $\langle f,v\rangle = ((u,v))$ para todos $v$ en $H_0^1$ . $H_0^1$ es el cierre de $C_0^\infty$ en el $H^1$ -norma. Por lo tanto, existe una secuencia $\{u_n\}$ en $C_0^\infty$ que converge a $u$ en el $H^1$ norma. Estudiemos el término $((u_n, v))$ : $$((u_n, v)) = \int u_n v + \int Du_n\cdot Dv$$ Desde $u_n$ es suave y tiene soporte compacto, entonces $$((u_n, v)) = \int u_n v - \int (\Delta u_n)v$$ $$((u_n, v)) = (u_n - \Delta u_n, v)$$ Definir $f_{u_n}:H_0^1 \to \mathbb{R}$ para ser $\langle f_{u_n}, v\rangle:= ((u_n,v)) = (u_n - \Delta u_n, v)$ . Entonces, de su definición se deduce que $f_{u_n}$ está en $H^{-1}$ y a partir de la igualdad mostrada anteriormente que $f_{u_n}$ es también un operador lineal continuo en $L^2$ . Finalmente, $f_{u_n}$ converge a f en $H^{-1}$ utilizando el hecho de que $u_n$ converge a $u$ en el $H^1$ norma. De hecho,

$$|\langle f-f_{u_n}, v\rangle| = |((u,v)) - ((u_n, v))| = |((u-u_n,v))|$$ $$|\langle f-f_{u_n}, v\rangle| \leq ||u-u_n||_{H^1}||v||_{H^1}$$ Así, tomando el sup sobre $||v||\leq 1$ obtenemos $$||f-f_{u_n}||_{H^{-1}} \leq ||u-u_n||_{H^1}$$ que va a cero como $n$ va al infinito. Por lo tanto, $L^2$ es denso en $H^{-1}$ (Yo preferiría decir $(L^2)'$ es denso en $H^{-1}$ )