Unicidad del número de grados de libertad

Question

Según mis conocimientos, los grados de libertad de cualquier sistema físico son el número de cantidades independientes (coordenadas) que deben especificarse para especificar el estado de un sistema de forma única. Sin embargo, mi pregunta es, ¿por qué hay un número único de grados de libertad para cualquier sistema?

O, dicho de otro modo, si un conjunto de $n$ coordenadas independientes describe completamente el estado del sistema, ¿por qué es cierto que cualquier otro conjunto de $n$ coordenadas independientes también describe el estado del sistema por completo?

¿Y por qué no puede haber un conjunto de $m$ coordenadas independientes que también describen completamente el estado del sistema, donde $m>n$ ?

Answer 1

Creo que el término "grado de libertad" se derivó inicialmente de la observación de que el sistema puede ser descrito completamente por $n$ coordenadas independientes - dijeron: "bueno, si esto $n$ es realmente una característica del sistema: ¡démosle un nombre!". Personalmente, creo que el nombre proviene de una cinemática clásica: si un cuerpo no puede moverse "libremente" en alguna dirección - esto reduce $n$ por uno.

Por lo tanto, su pregunta puede reducirse a la siguiente: "¿por qué el número de coordenadas independientes que describen completamente el sistema no depende de las propias coordenadas?". ¿Estoy en lo cierto?

Respuesta matemática:

Describimos los sistemas mediante el álgebra lineal. En el álgebra lineal existe el concepto de base: un conjunto (mínimo) de vectores independientes es una base, mientras que la proyección de cualquier vector de un espacio de estados de un sistema sobre este conjunto preserva la norma de los vectores del espacio de estados (hay muchas definiciones alternativas).

Lo que la definición anterior dice es que si encuentras un conjunto de vectores (independientes), y puedes representar cualquier estado del sistema en términos de estos vectores sin perder ninguna información - este conjunto de vectores es una base.

¿Por qué exigimos que el conjunto de vectores sea mínimo? Bueno, se puede añadir otro vector independiente a este conjunto, pero si el sistema no tiene ninguna componente en esta coordenada adicional, este vector es redundante. Ejemplo de la vida real: puedes describir la posición de un cuerpo utilizando tres coordenadas vectoriales (x, y, z). Se puede ampliar este conjunto de tres vectores con un vector de velocidad del viento (que es claramente independiente con cualquiera de los vectores posicionales del cuerpo), pero no tenemos que preocuparnos de qué es el viento. Estamos midiendo la posición de un cuerpo.

Entonces, tenemos una base, ¿ahora qué? Bueno, hay un teorema en álgebra lineal que demuestra que si tienes una base para el espacio de estados, y encuentras otra base, entonces las dimensiones de estas bases son las mismas. Esto significa que siempre se necesita exactamente $n$ coordenadas independientes para describir el sistema completamente (sin pérdida de información).

Respuesta intuitiva:

Esta es muy complicada, porque toda la discusión sobre "coordenadas" e "independencia" está ligada al marco del álgebra lineal. Realmente, me parece muy difícil razonar las afirmaciones anteriores de forma intuitiva.

Tal vez esto: suponga que hay un número finito de propiedades de interés en el sistema (como suele ser el caso). Se le da $n$ condiciones de contorno que no están relacionadas: ninguna de ellas puede derivarse del resto. En este caso, cada condición de contorno permite expresar una sola propiedad del sistema. Si se da cuenta de que estas $n$ Las condiciones de contorno describen todas las propiedades de interés - esto significa que tiene $n$ propiedades de interés.

Ahora, si te dan con $m > n$ condiciones de contorno no relacionadas, se puede expresar $m$ propiedades de su sistema. Sin embargo, ya hemos demostrado que acaba de $n$ propiedades de interés. Conclusión: el $m$ Las condiciones de contorno no relacionadas describen $m - n$ parámetros que no le interesan. Tíralos a la basura porque te tapan la vista.

Answer 2

Para una visión ligeramente diferente de las mismas ideas presentadas por Vasiliy Zukanov...

Comienza con un conjunto de coordenadas lo suficientemente grande como para describir el estado del sistema. Estas pueden ser las $3N$ componentes de las posiciones de $N$ partículas puntuales, o pueden ser ángulos entre líneas, o pueden ser algo totalmente distinto. En general, se empieza con $\ell$ tales coordenadas, y el espacio de configuración resultante es un $\ell$ -dimensional colector .

Si aplica $k$ independiente holonómico al sistema, se restringe el espacio de configuraciones válidas a un submanifiesto de dimensión $n = \ell - k$ . Esto se muestra formalmente, por ejemplo, en la obra de Arnold Métodos matemáticos de la mecánica clásica . La dimensión de un colector, al igual que la de un espacio vectorial, es independiente de la forma de parametrizarlo: cada punto reside en una vecindad que es difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ y el espacio tangente de cada punto es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Si el submanifold también tenía dimensión $m \neq n$ entonces se podría construir un mapa (diferenciable) con una colocación inversa (diferenciable) $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ en biyección.

Puedes pensar en $n$ como el número de "direcciones" en las que te puedes mover, las llames como las llames o las reordenes, no puede haber ni más ni menos.

Para un ejemplo más concreto, considere el movimiento de un solo punto. Inicialmente, tal vez se empiece con coordenadas cartesianas, que obviamente sólo están parametrizando el colector $\mathbb{R}^3$ . Ahora alguien te dice que el punto está limitado a la superficie de la Tierra, quizás con la restricción $$ x^2 + y^2 + z^2 = R_\oplus^2. $$ Ahora está restringido a un $2$ -de la región. No importa en qué lugar de la Tierra te encuentres, puedes parametrizar localmente tu vecindad (restringida a la superficie) con un conjunto de dos coordenadas, sean las que sean.

Claro que ese ejemplo hace que el resultado parezca trivial. El salto consiste en comprender que lo mismo ocurre incluso con coordenadas menos intuitivas. Por ejemplo, puedes tener dos ángulos implicados en la parametrización de un péndulo de Foucault doble, pero entonces alguien te dice que la articulación del medio está limitada a moverse en un plano. Acabas de pasar de un espacio de configuración 4D ( $S^2 \times S^2$ que sólo es local pero no global como $\mathbb{R}^4$ ) a uno en 3D ( $S^2 \times S^1$ que localmente podría refundirse utilizando, por ejemplo, dos alturas y una posición horizontal para que parezca una región de $\mathbb{R}^3$ - la cuestión es que su elección de coordenadas no puede cambiar la dimensión).