Mostrar que $\int\limits_0^\infty\frac{1}{t}(\cos(at)-\cos(bt))dt=\ln(b/a),\,a,b>0$.

Question

Demuestra que $$\int\limits_0^\infty\frac{1}{t}(\cos(at)-\cos(bt))dt=\ln(b/a),\,a,b>0.$$

Gracias a wikipedia sé que

$$\int\limits_0^\infty\frac{1}{t}(\cos(at)-\cos(bt))\,dt \overset{?}{=}\int\limits_{0}^\infty\left[\frac{p}{p^2+a^2}-\frac{p}{p^2+b^2}\right]=\left.\frac{1}{2}\ln\left[\frac{p^2+a^2}{p^2+b^2}\right]\right|_{0}^\infty=\ln b-\ln a.$$ Estoy teniendo dificultades para entender el salto entre la igualdad con el signo de interrogación arriba de ella.

Answer 1

Escribe

$$\frac1{t} = \int_0^{\infty} dp \, e^{-p t}$$

Luego la integral es

$$\begin{align}\int_0^{\infty} dt \, \frac{\cos{a t}-\cos{b t}}{t} &= \int_0^{\infty} dt \, (\cos{a t} - \cos{b t})\int_0^{\infty} dp \, e^{-p t} \\ &= \int_0^{\infty} dp \, \left (\int_0^{\infty} dt \, \cos{a t} \, e^{- p t} - \int_0^{\infty} dt \, \cos{b t} \, e^{- p t}\right ) \\ &= \int_0^{\infty} dp \, \left (\frac{p}{p^2+a^2} - \frac{p}{p^2+b^2} \right ) \end{align} $$

Parece que has entendido el resto. Ten en cuenta que, en la segunda línea, podemos revertir el orden de integración porque las integrales involucradas son convergentes. También ten en cuenta que, en la tercera línea, como señala @DrMV, las expresiones son transformadas de Laplace de las respectivas funciones coseno.

Answer 2

¿Has oído hablar de las integrales de Frullani? De lo contrario, puedes ver aquí diferentes técnicas.