Raíces de$p(x)+xp'(x)$

Question

Deje que$p(x)$ sea un polinomio de grado$n$ de manera que no tenga una raíz real (es decir,$n$ es un número incluso positivo).

¿Podemos decir algo sobre las raíces del polinomio$p(x)+xp'(x)$?

Aquí$p'(x)$ denota el derivado de$p(x)$ con respecto a$x$.

Answer 1

$$(xp(x))'=p(x)+xp'(x)$$

Ahora desde $n$ (grado de $p(x)$) es aún, tenemos $xp(x)$ un extraño grado del polinomio. También, podemos decir que el $xp(x)$ no es monótonamente creciente, esto es así porque un polinomio $q(x)$ grado $k$ es monótonamente creciente, sólo si $$q(x)=a(x+b)^k+c \, ; a \neq 0$$ If we compare this with $xp(x)$, we'll get $c=b=0$

Esto sugiere $p(x)=x^n$ que no es posible ya que no tiene raíces reales.

Ahora, desde la $xp(x)$ es un extraño grado del polinomio, que tienden a $\pm \infty$ al $x \to \pm \infty$, y también hemos demostrado que no es monótono, por lo tanto se convierte en un número par de veces, y cada vez que vuelve, es derivado se $0$.

Por lo tanto podemos concluir que el polinomio $p(x)+xp'(x)$ tienen un número par de raíces, con un mínimo de $2$ raíces.

Answer 2

Digamos que$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$

Entonces nosotros tenemos $p'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}$

Y por lo tanto $xp'(x)=a_1x+2a_2x^2+\cdots+na_nx^n$

Ahora queremos encontrar las raíces de \begin{align}p(x)+xp'(x) &= (a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)+ (a_1x+2a_2x^2+\cdots+na_nx^n)\\ &=a_0+(a_1+a_1)x+(a_2+2a_2)x^2+\cdots+(a_n+na_n)x^n\\ &=a_0+2a_1x+3a_2x^2+\cdots+(n+1)a_nx^n\\ &=\sum_{i=0}^n(i+1)a_ix^i\end {align}

Answer 3

Tenga en cuenta que si$a$ es una raíz de$p$ con multiplicidad estrictamente mayor que$1$ (es decir,$$p(x) = (x-a)^k q(x)$$ for some $ k> 1$ and $ q$ a polynomial), then $ a$ is a root of $ p (x) + xp '(x)$. This follows from differentiating the above expression for $ p$. When $ a = 0$ the above holds and is also true for $ k = 1 $.