No entiendo la siguiente, como he leído a lo largo de una prueba en un papel:
Denotamos por a $\mathcal{P}({M})$ el espacio de medidas de probabilidad en un espacio métrico $M$, equipado con la topología débil.
Deje $E$ ser un espacio métrico. Deje $\{ \mu_n \}$ ser una secuencia aleatoria de las medidas en $E$, es decir, para cada $n$, $\mu_n$ es una $\mathcal{P} (E)$valores de variable aleatoria. También, vamos a $\mathbb{Q}$ ser un determinista probabilidad de medida en el mismo espacio de probabilidad. Podemos entonces tratar $\delta_{\mathbb{Q}}$ ser una constante a lo $\mathcal{P}(E)$valores de variable aleatoria.
Dado que tanto $\text{Law} ( \mu_n) $ $\text{Law} ( \delta_{\mathbb{Q}})$ son medidas en $\mathcal{P}(E)$, en el documento se define que $\mu_n$ converge en ley a $\mathbb{Q}$ si $$\text{Law} ( \mu_n) \implies \text{Law} ( \delta_{\mathbb{Q}}). \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, (*)$$ Sin embargo, en el papel, el hecho de que $\mu_n$ converge en ley a $\mathbb{Q}$ se concluye estableciendo que $$\mathbb{E} \bigg[ \bigg| \int_E f \,d \mu_n - \int_E f \,d \mathbb{Q} \bigg| \bigg] \rightarrow 0, \quad \quad \quad (**)$$ para todos los continuo delimitado las funciones de $f$$E$.
Por definición de $(*)$, esto es equivalente a decir que $$ \int_{\mathcal{P}(E)} f \, d\text{Law} ( \mu_n) \rightarrow \int_{\mathcal{P}(E)} f \, d \text{Law} ( \delta_{\mathbb{Q}}),$$ para todos los continuo delimitado las funciones de $f$$\mathcal{P}(E)$. ¿Cómo es que esto siga de $(**)$? Alguna idea?
