¿Qué se entiende por ' corre a través de '?

Question

Estoy estudiando de forma independiente álgebra abstracta por diversión (no mi fuerte ...) y estoy leyendo Herstein. Tiene una pregunta en el capítulo de anillos:

Deje que$p$ sea un primo impar y deje que$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}=\frac{a}{b}$$ where $ a, b \ in {\ mathbb {Z}}$. Show $ p | a$. (Hint: As $ a$ runs through $ U_p$, so does $ a ^ {- 1} $.

$U_p=\{[a]\in\mathbb{Z}_n|(a,n)=1\}$

¿Qué quiere decir con "pasar por"? He visto esta terminología antes y siempre me ha dejado perplejo. ¿Y cómo se aplica a la prueba?

Lo he hecho de esta manera para una clase de resolución de problemas:

PS

Answer 1

Como$a$ corre a través de$U_p$, también lo hace$a^{-1}$.

Esto significa que la función$f:U_p\to\Bbb Z_p:a\mapsto a^{-1}$ es en realidad una bijección desde$U_p$ a$U_p$. Imagine calcular$f(a)$ uno a la vez para cada$a\in U_p$ y listar las salidas como aparecen: su lista será una lista de$U_p$, aunque en general en un orden diferente al de su lista de entradas .

Answer 2

Significa que para cualquier$x\in U_p$, existe$a\in U_p$ tal que$a^{-1}=x$.

"Ejecutar a través de" significa esencialmente "toma valores arbitrarios en". Es como una versión verbal de la notación de la teoría de conjuntos:

PS

Lo anterior podría expresarse verbalmente como "$$\{3n^2\mid n\in\Bbb N\}$ ya que$3n^2$ corre a través de$n$".

Answer 3

En cuanto a cómo se aplica la pista: tenemos

PS

donde$$b(\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(p-1)!}{k}) \equiv a(p-1)! \pmod p$ por el teorema de Wilson. El entero$(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ modulo$\frac{(p-1)!}{k}$ es el recíproco negativo de$p$ en$k$, y como el mapa$\mathbb{Z}/(p)$ es una bijection en$a \mapsto -a^{-1}$, el la suma entre paréntesis es la misma que la suma de$U_p$ modulo$\sum_{k=1}^{p-1} k$.