¿Se fijan los campos de subgrupos finitos generados por polinomios simétricos en Galois conjugados?

Question

Deje $F/K$ ser una extensión de los campos, vamos a $G=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}$ ser un subgrupo finito de $\operatorname{Gal}(F/K)$.

Si $\alpha\in F$, entonces cualquier polinomio simétrico $\varphi\in K[\sigma_1(\alpha),\dots,\sigma_n(\alpha)]$ satisface $\varphi\in F^G$, el campo fijo de $G$.

Es cierto que $F^G=K(\{\varphi_\alpha\in K[\sigma_1(\alpha),\dots,\sigma_n(\alpha)]: \varphi_\alpha \mbox{ is elementary symmetric}, \alpha\in F\})$? La anterior afirmación se dice que la fácil inclusión de $\supset$ mantiene, pero ¿suficiente? Tenga en cuenta que podemos tomar los polinomios a ser primaria simétrica por el teorema fundamental de los polinomios simétricos.

Esta pregunta surgió de forma natural para mí cuando computación en algunos campos fijos, ya que una estrategia útil para la determinación de ellos es encontrar algunos de niza $\alpha$ a tratar (por ejemplo, un conjunto de generadores para $F/K$), y empezar adyacentes simétrica polinomios en la $\sigma_i(\alpha)$ $K$hasta alcanzar el grado necesario. Así que la pregunta en otras palabras es, ¿este procedimiento siempre funciona?

Answer 1

En una extensión finita de Galois, ya traza es provablemente sobreyectiva (esta prueba no degeneración de la traza emparejamiento $\langle \alpha,\beta\rangle=\hbox{trace}_{F/K}(\alpha\cdot \beta)$). Esto es estándar y encontró en muchos lugares, por ejemplo, http://www.math.umn.edu/~garrett/m/number_theory/overheads/noth-10-05-2011.pdf

Answer 2

Su declaración es verdadera. Tomar cualquier elemento $x\in F^{G}$, $\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}(x/n)$ $G$- primaria simétrica de la función de $\alpha=x/n\in F^{G}$. Esto equivale a $x$, ya que el $x$ es fijado por la acción de la $G$. (Esta prueba sólo es válida siempre que su campo no es de carácter $n$.)

Pero para su problema de encontrar los campos fijos, que sólo puede llevarse a $\alpha$ a de ser algún conocido números en la mano, por ejemplo, de algunos electrógenos $S$ de la extensión $F/K$: $F=K(S)$.

Ejemplo más concreto es el grupo de Galois de $f(X)=X^4-2$. Deje $S$ ser el conjunto de todas sus raíces: $S=\{ \, \sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}\sqrt{-1},-\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}\sqrt{-1}\, \}$. El grupo de Galois $\mathrm{Gal}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(S))$ es el diedro grupo de orden $8$, y tiene un único subgrupo cíclico $G$ de orden cuatro. El correspondiente campo fijo de $G$$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$. Tenga en cuenta que $\sqrt{-1}=(\sqrt[4]{2}\sqrt{-1})/\sqrt[4]{2}$ no es un polinomio simétrico de a $\sqrt[4]{2}$. Para $\prod_{g\in G}(X-g\sqrt[4]{2})=X^4-2$ sólo ha racional de los coeficientes.

Por lo que la anterior demostró la proposición es a veces engañosa, pero en realidad primaria simétrica funciones son buenos candidatos. Si simétrica funciones no es suficiente, cuidadosamente escriba la acción de $G$ a su bien entendida $\alpha$'s y la construcción de los números que se fija por la acción de la $G$ el uso de sus experiencias de trabajado previamente ejemplos, hasta alcanzar su grado de extensión.