Después de aprender los conceptos de "rango" y "tenue" en mi curso de álgebra lineal en la universidad, estoy tratando de entender por qué los necesitamos y cómo puedo visualizarlos. Me alegraré si alguien pudiera ayudarme :)
Gracias
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Sin duda, se puede apreciar por qué la cardinalidad de un conjunto es útil. Cuando se utiliza finito de conjuntos, la cardinalidad es especialmente útil, ya que puede combinar los conjuntos de diferentes maneras y predecir la cardinalidad de los conjuntos nuevos.
Por ejemplo, si $|A|=n$$|B|=m$, luego $|A\times B|=mn$, $|A\cup B|=m+n-|A\cap B|$, etc. él cardinalidad del producto Cartesiano es todavía manejable cuando las cardinalidades son infinitas, pero la cardinalidad de la unión es menos conveniente para el estado.
Ahora en general, el tamaño de un espacio vectorial (es decir $\Bbb R^n$) es con frecuencia va a ser infinito (por ejemplo, cuando el campo base es infinito.) Así que cuando el pensamiento se trata de construcciones con espacios vectoriales como $V\times W$$V/U$, la cardinalidad no es muy útil pieza de datos.
Por suerte, la estructura de un espacio vectorial hace posible que reducen la cardinalidad en un concepto diferente: la dimensión. Usted puede pensar de dimensión finita, como análogo a la finitos conjuntos entre todos los conjuntos. La media aritmética de dimensiones finitas funciona muy bien y es más útil que la aritmética de cardinalidades entre espacios vectoriales.
Es por eso que podemos decir cosas como $\dim(V\times W)=\dim (V) +\dim (W)$ $\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$ finito dimensionales $V$, incluso a pesar de que los espacios vectoriales mismos pueden tener infinitas cardinalidades.
Para resumir un poco, usted puede considerar que tanto la "cardinalidad" y "dimensión" son medidas de tamaño de algo. Ser capaz de medir las cosas en términos de tamaño finito es más deseable que los malabares infinitos tamaños.
El rango de una transformación lineal (en un espacio de dimensión finita) es un número natural que le da una cierta información acerca de la transformación. En este caso, es sólo la dimensión de su imagen. A través de la clasificación de nulidad teorema, se puede relacionar este número a las dimensiones del dominio y el codominio de la transformación.
Otro ángulo en la dimensión que trabaja para $\Bbb R^n$ es de dimensión en el sentido geométrico. Estoy seguro de que usted puede encontrar muchos recursos en los que se discute el desarrollo de la intuición para $2$, $3$ y $n$ dimensiones. El clásico de introducción a este sentido de la dimensión de Flatland por E. A. Albott
Luke Collins
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129
El rango de un cuadrado de $n\times n$ matriz $\boldsymbol{\mathrm A}$, lo que escribimos $\mathrm {rank~} \boldsymbol{\mathrm A}$, es útil, ya que nos dice acerca de las soluciones de ecuaciones en la forma de $$\boldsymbol{\mathrm {Ax}}=\boldsymbol{\mathrm B}$$ En general, esta ecuación se tiene:
Un número infinito de soluciones $\iff$ $\mathrm{rank}~\boldsymbol{\mathrm A}=\mathrm{rank}~(\boldsymbol{\mathrm A}|\boldsymbol{\mathrm B})<n$
Una solución única $\iff$ $\mathrm{rank}~\boldsymbol{\mathrm A}=\mathrm{rank}~(\boldsymbol{\mathrm A}|\boldsymbol{\mathrm B})=n$
No hay solución $\iff$ $\mathrm{rank}~\boldsymbol{\mathrm A}\neq\mathrm{rank}~(\boldsymbol{\mathrm A}|\boldsymbol{\mathrm B})$
También nos habla sobre las soluciones de ecuaciones homogéneas, es decir, aquellos en la forma $$\boldsymbol{\mathrm {Ax}}=\boldsymbol{\mathrm 0}_{n\times 1}$$ En general, esta ecuación se tiene:
Sólo una solución trivial ($\boldsymbol{\mathrm x}=\boldsymbol{\mathrm 0}_{n\times 1}$) $\iff$ $\mathrm{rank}~\boldsymbol{\mathrm A}=n$
Infinitamente muchas soluciones $\iff$ $\mathrm{rank}~\boldsymbol{\mathrm A}<n$
Eli Rose
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$\dim$ corresponde a nuestra idea intuitiva de dimensión. Las líneas son unidimensionales, los aviones son de dos dimensiones, el espacio es de tres dimensiones.
$$\dim(\mathbb{R}^3) = 3$$ $$\dim(\{(x, y, z) \mid x - y + 3z = 8\}) = 2$$ $$\dim(\{(2t, t + 4, t) \mid t \in \mathbb{R}\}) = 1$$
Estos ejemplos son para $\mathbb{R}^n$, pero también podemos usar la dimensión en otros espacios vectoriales. Podemos definir la forma en que lo hacen (número de vectores de la base), por lo que las obras en general, pero la manera de visualizar que, en mi opinión, está siempre en $\mathbb{R}^n$.
Esto es lo que pienso sobre rango: si usted piensa en su matriz como una transformación lineal de espacios vectoriales $V \rightarrow W$, luego se come a cualquier vector en $V$ y escupe un vector en $W$.
Ahora piensa en la dimensión del conjunto de lugares que usted podría aterrizar en $W$. Esto se llama la imagen de la transformación. Si la transformación es surjective, usted puede aterrizar en cualquier lugar, así que es sólo la dimensión de $W$. En el extremo opuesto, si su transformación envía todo a $0$, entonces es $0$. Usted siempre podría tierra en una determinada línea, en un plano determinado, etc.
La dimensión de la imagen de la transformación es el rango. Que las medidas de "¿cómo de grande es el área que podría aterrizar en cuando voy a través de esta transformación"?
