(a) me gusta mucho tu pregunta porque es así totalmente comprometidos con el texto!
(b) creo que te equivocas de que el isomorfismo en la parte (i) se supone que se $a/f^m \mapsto a/g^m$. Por ejemplo, si $g=f^2$,$X_f=X_g$, pero el isomorfismo es en realidad $a/f^m \mapsto f^ma/g^m$. Creo que sería una clarificación de ejercicio para usted para trabajar de lo que el isomorfismo en realidad tiene que ser. (Relatedly a lo que Alex Youcis dijo en un comentario, la clave para encontrar es que el $X_f=X_g$ implica que el $f$ $g$ están contenidas en las mismas primer ideales y por lo tanto tienen el mismo radical; de modo que cada uno está en el otro radical.)
(c) en Relación con el bien definedness de $\rho$ en la parte (ii), que conceptualmente no se diferencia de la isomorfismo en la parte (i). Creo que una vez que la respuesta de la parte (i) de forma satisfactoria, (ii) va a ser mucho más clara. No tengo mucho más que añadir a Alex Youcis' pista, excepto que creo que usted debe regresar a la parte (i) en primer lugar.
(d) El conceptual gran imagen aquí: lo que la pregunta es llegar, tiene mucho más sentido desde el punto de vista de la geometría algebraica que si estás estudiando álgebra conmutativa fuera de este contexto. Estoy a punto de ejecutar algunas de las ideas fundamentales de la geometría algebraica. Esto puede ser útil o abrumador, no estoy seguro de qué, pero voy a ofrecer en el espíritu que hace que la imagen completa hacer mucho más sentido para mí de todos modos.
La idea es que los elementos de la $A$ están siendo considerados como "funciones" en el espacio topológico $X=\operatorname{Spec}A$. Para hacer este concreto, supongamos que $A$ es el anillo de $\mathbb{C}[x]$. (Elegí este anillo para hacer la imagen geométrica partido tan estrechamente como sea posible con lo que Atiyah-MacDonald están haciendo.) $A$ es una p.yo.d. por lo que su valor distinto de cero el primer ideales generados por polinomios irreducibles, que son todos de grado $1$ desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado. Así, el primer distinto de cero ideales parecen a $(x-\alpha)$$\alpha\in\mathbb{C}$. Por lo tanto están en una correspondencia uno a uno con los puntos de $\mathbb{C}$. Pensamos en $\operatorname{Spec}A$ como ser los puntos de $\mathbb{C}$, además de un "genérico" punto correspondiente con el cero ideal. Elementos de $A$, siendo polinomios, son, pues, literalmente funciones en $\operatorname{Spec}A$ con valores en $\mathbb{C}$. Observe que para un polinomio $f\in A$, $f\in(x-\alpha)$ si y sólo si $f$ es cero en $\alpha$. Por lo tanto una función de fuga en un punto que se traduce en ser contenida en el correspondiente primer ideal. Pensamos en el conjunto de $X_f$ de primer ideales que no contengan $f$ como "el conjunto de puntos donde la $f$ no se desvanecen."
El siguiente paso es que Zariski a abrir los subconjuntos de a $\mathbb{C}$ cada uno determinar una mayor anillo de funciones. En la geometría algebraica, la idea de una función de ser "lo suficientemente bien comportado" se llama regular. (Esto es análogo con el papel de las funciones continuas en la topología, las funciones lisas en la geometría diferencial, y holomorphic funciones en el análisis complejo.) Regular significa que es una función racional sin bastones. Si pedimos una función racional sin polos en todos los de $\mathbb{C}$, entonces su denominador tiene que ser constante porque cada polinomio no constante tiene un cero, por lo que si en el denominador sería la causa de un poste. Pero si estamos interesados sólo en un subconjunto de a $\mathbb{C}$, regular de las funciones que puede tener no constante denominadores. Por ejemplo, $1/x$ es regular en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Podríamos preguntar, "¿qué es el anillo de funciones regulares en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$?" Es exactamente $A_x=\mathbb{C}[x]_x$, debido a que el denominador tiene que no tener ninguno de los ceros de distancia desde el origen, por lo que el denominador no pueden tener factores como $x-\alpha$ otros de $x$. Tenga en cuenta que es mayor en el anillo que acaba de $A$ (funciones regulares en todas partes), ya que sólo tiene que ser regular en un conjunto más pequeño.
De manera más general, la idea es que el $A_f$ es el anillo de funciones regulares de distancia de la puesta a cero de $f$. (En mi ejemplo, en el último párrafo, $f=x$ es cero sólo en el origen por lo $A_x$ es de las funciones regulares de distancia desde el origen.) Nos gustaría saber que si $f$ $g$ tienen el mismo "ajuste a cero", $A_f$ $A_g$ son en realidad el mismo anillo. Ese es el punto de la parte (i). El punto de la parte (ii) es que si $g$'s zero set incluye $f$'s, entonces las funciones de regular, lejos de la $g$'s de la puesta a cero automáticamente regular, lejos de la $f$'s así que usted debe ser capaz de asignar el anillo {funciones regulares de distancia de f zero set} para el anillo {funciones regulares de distancia de g ajuste a cero} sólo por la restricción de una función de $f$'s distinto de cero conjunto de a $g$'s. De nuevo, no importa lo $f$$g$, sólo por lo que sus cero conjuntos.
Todo esto probablemente se parecen borrosos porque por un anillo de $A$, los elementos no son, literalmente, funciones. Pero la teoría de que este problema nace a partir de fue desarrollado para llevar esta analogía tan lejos como sea posible. El problema está diseñado para mostrar que se puede llevar muy lejos. El objetivo del problema es mostrar que a pesar de $f,g$ no son funciones, por lo $X_f$ no es literalmente "el conjunto de puntos donde $f$ no desaparecer", sin embargo, si tratamos $A_f$ como "el anillo de funciones regulares en $X_f$", entonces sólo depende del valor de $X_f$ y no en la 'función' $f$. Del mismo modo, si $X_g\subset X_f$, a continuación, "el anillo de funciones regulares en $X_f$" natural "mapa de restricción" a "el anillo de funciones regulares en $X_g$" que no dependen de las elecciones de $f,g$ que definen los conjuntos de $X_f,X_g$.
