hallazgo

Question

La definición de la traza de la forma habitual como una función de $Tr: F^{n\times n} \rightarrow F$ donde $F$ es de campo. Quiero mostrar que la $\text{ker}(Tr)=\text{span}_F(\{AB-BA|A,B\in F^{n\times n}\})$.

Hasta ahora ciertamente he deducido que el $\text{im}(Tr)=F$, y por lo $\text{dim}(\text{ker}(Tr))=n^2-1$. Ahora sólo tengo que encontrar una base para $S$ (que voy a utilizar para denotar el conjunto que abarca más arriba), ya que claramente $S\subseteq \text{ker}(Tr)$.

He engañado a escribir $A$ $B$ como combinaciones lineales de las estándar $E_{ij}$, y liarte con los índices para encontrar los despidos, etc, pero me parece que no puede hacer ningún progreso. Me estoy perdiendo algo de truco. Tal vez necesito volver a escribir la $E_{ij}$ en algunos de manera más útil?

Answer 1

Elegir $A=E{ij}$ y $B=E{jk}$ $i\not=k$ da $E_{ik}$ $S$.

La misma elección con $i=k$y $j=i+1$ da $E{ii}-E{i+1,i+1}$.

Las matrices de forman claramente independiente situado en el núcleo de la traza del tamaño adecuado, para que formen una base.

Answer 2

Hay un par de enfoques. Primero los conmutadores de más de $F$ son en realidad un subespacio. Cada colector es un traceless de la matriz y, por el contrario, cada traceless de la matriz puede ser expresado como un conmutador. Esta muestra de inmediato que el lapso de los conmutadores es el lapso de traceless matrices es decir, el subespacio de todos los traceless matrices. Lo cierto es que esto no es constructivo y no del todo satisfactorio.

Como alternativa, el siguiente tiene $$\left[E_{i1},\ E_{1j}\right] = \begin{cases} E_{ij} & i\neq j \\ E_{ii}-E_{11} & i=j\end{cases}$$ que establece claramente $(n^2 - n) + (n-1) = n^2 - 1$ linealmente independiente de los conmutadores que abarcan el espacio de traceless matrices.

Dejando $S$ ser el espacio de traceless matrices, la de arriba muestra $$S\subseteq\rm{span}\{AB-BA|A,B\in F^{n\times n}\}$$ Desde los conmutadores son traceless, cada combinación lineal de los conmutadores sigue siendo traceless, así que, naturalmente, tienen $$\rm{span}\{AB-BA|A,B\in F^{n\times n}\} \subseteq S$$ Esto demuestra que los dos conjuntos coinciden.