$H \subseteq \text{group } G $ , $H$ no está vacío.
Si para cualquier $a,b \in H$ tenemos $a^{-1}b^{-1} \in H$ ¿es posible deducir que $H$ es un subgrupo de $G$ ?
Creo que esto no es necesariamente cierto porque no se puede demostrar que la identidad esté en $H$ pero no puedo encontrar un contraejemplo.
En general, un contraejemplo: tome un grupo finito $G$ con $3 \vert|G|$ . Por el Teorema de Cauchy podemos elegir un elemento $g \in G$ de orden 3. Ahora tomemos $H=\{g\}$ .
La historia va un poco más allá.
Propuesta Dejemos que $H$ sea un subconjunto de un grupo $G$ tal que $\forall a,b \in H: a^{-1}b^{-1} \in H$ . Entonces $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si el elemento de identidad $e \in H$ .
Prueba. La parte de "sólo si" es obvia, así que supongamos $e \in H$ . Tenemos que demostrar que $H$ es cerrado bajo la multiplicación del grupo y que los inversores se encuentran en $H$ . Hagamos primero lo segundo: tomemos $a \in H$ entonces por la propiedad $a^{-1}e^{-1}= a^{-1} \in H$ . Ahora toma $ a,b \in H$ entonces $ b^{-1}a^{-1}=(ab) ^{-1} \in H$ . Pero los inversos se encuentran en $H$ Así que $ab \in H \Box$ .
De hecho, podemos construir un número infinito de contraejemplos.
Dejemos que $G$ sea un grupo con $g \in G$ de orden 6. Tome $H=\{g,g^4\}$
Dejemos que $G$ sea un grupo con $g \in G$ de orden 9. Toma $H=\{g,g^4,g^7\}$
Dejemos que $G$ sea un grupo con $g \in G$ de orden 12. Toma $H=\{g,g^4,g^7,g^{10}\}$ y así sucesivamente.
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