Sé que la suma$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$. Cómo encontrar la suma de$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+bn)^{2}}$ $ donde$a,b>0$. (Si$\frac{a}{b}$ es entero, entonces la respuesta es directa. Pero, ¿qué pasa con el general$a,b>0$?)
Respuestas
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En general, su infinita suma no tiene una forma cerrada. Pero si se introduce una función especial que es razonablemente famoso y bien estudiado, usted puede encontrar su valor. Específicamente, vamos a
$$\psi_1 (s) = \frac{d^2}{ds^2} \log \Gamma(s)$$
ser la trigamma función. Entonces tenemos
$$ \psi_1(s) = \sum_{n=0} \frac{1}{(s+n)^2}. $$
Por lo tanto, podemos expresar su balance en términos de $\psi_1$:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+bn)^2} = \frac{1}{b^2} \psi_1 \left( 1 + \frac{a}{b} \right).$$
En algunos casos especiales, se puede encontrar una forma cerrada. Por ejemplo, usted ya sabe que $\psi_1(1) = \zeta(2)$. Por otra parte, desde
$$ \psi_1(z+1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2},$$
podemos concentrarnos en el caso de $0 \leq \frac{a}{b} < 1$. A continuación, por
$$ \psi_1(1-z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z},$$
obtenidos por el registro de la diferenciación de los Euler reflexión de la fórmula, tenemos
$$ \psi_1 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2},$$
que también puede ser el resultado directo de argumento. Algunos otros valores de esta función incluye
$$ \psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K^2,$$
donde $K$ es el catalán constante.
user21783
Puntos
11
Como alternativa a la función trigamma propuesta por sos440, puede usar la función zeta de Hurwitz :$$\zeta(s,q)=\sum_{n=0}^\infty \frac 1{(q+n)^s}$ $
para que$$\frac 1{b^2}\zeta\left(2,1+\frac ab\right)= \sum_{n=1} \frac{1}{(a+b\,n)^2}. $ $
