¿Cuáles son las tres últimas cifras del producto de los números impar de $1$ a $1000$ ?
Gracias de antemano, se agradece cualquier ayuda.
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?Tenemos que $999!!$ es múltiplo de $125$ desde $125$ es uno de sus factores.
Por otro lado, $999\equiv 7\pmod{8}$ Por lo tanto
$$ 999!!=\prod_{n=0}^{499}(2n+1)\equiv(1\cdot 3\cdot 5\cdot 7)^{125}\equiv 1\pmod{8} $$ Por el Teorema chino del resto se deduce que $$ 999!!\equiv \color{red}{625}\pmod{1000}.$$
@HopefullyHelpful: tenemos que encontrar $N\pmod{1000}$ y lo hacemos calculando $N\pmod{8}$ y $N\pmod{125}$ . Si reducimos $\pmod{8}$ cada número impar en el rango $[1,999]$ obtenemos $$999!!\equiv 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots\color{red}{7}\pmod{8}$$ de la que $$999!!\equiv 1\pmod{8}$$ como se ha explicado anteriormente.
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1000 no es impar ....
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@Andreas: ¿y entonces? Se nos pide que calculemos $$999!!\pmod{1000}.$$
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Sí, lógicamente bien. Sintácticamente, prefiero las preguntas que no se expresan indirectamente. Cuestión de gustos, supongo.
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Si la pregunta fuera la suma de todos los números perfectos menores que 1000 se entendería que 1000 puede no ser perfecto pero plantear la pregunta directamente suma todos los número perfectos menores o iguales a cualquiera que sea el último cuadrado perfecto < 1000, es innecesario. No veo que esto sea un delito más.