Ideal de $\mathbb Q[x]$ que contiene dos polinomios

Question

Supongamos $I$ es un ideal de a $\mathbb Q[x]$ que contiene $x^2 + 2x +4$$x^3 - 3$. Demostrar $I =\mathbb Q[x]$.

Este es un ejercicio de mi álgebra abstracta libro de texto. Sé que la definición de un ideal. Sé que todos los ideales de a $\mathbb Q[x]$ es una de las principales ideales que significa que cada ideal que puede ser generado por un único polinomio en $\mathbb Q[x]$.

Una sugerencia dada en el ejercicio dice que empezar por demostrar que $x^3 - 3$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$. Sé que es irreducible en a $\mathbb Q[x]$ porque no tiene raíces en $\mathbb Q[x]$. Asimismo, $x^2 + 2x + 4$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$.

También sé que si yo podría mostrar que $1$$I$, entonces hemos terminado. De lo contrario no sé cómo hacer que esta prueba inicia.

Answer 1

Sugerencia: El anillo de $\mathbb Q[x]$ no es sólo un director ideal de dominio. También es un dominio Euclídeo. Y el hecho de que ambos polinomios son irreducibles significa, en particular, que son coprime.

Answer 2

Observe que: $$\underbrace{(x^3-3)}_{\in I}-\underbrace{x}_{\in\mathbb{Q}[X]}\underbrace{(x^2+2x+4)}_{\in I}=-2x^2-4x-3.$$ Por lo tanto, desde el $I$ es un ideal de a $\mathbb{Q}[X]$, se tiene: $$2x^2+4x+3\in I.$$ A continuación, observe que: $$\underbrace{2x^2+4x+3}_{\in I}-\underbrace{2}_{\in\mathbb{Q}[X]}\underbrace{(x^2+2x+4)}_{\in I}=-1.$$ Finalmente, $1\in I$$I=\mathbb{Q}[X]$.

Answer 3

Deje $p(x)$ ser el generador del ideal. A continuación, $p(x)$ divide $x^2+2x+4$$x^3-3$. Por lo tanto $p(x)$ tiene el grado $\le 2$. Pero $p(x)$ no tienen un grado $1$ o $2$ desde $x^3-3$ es irreductible. Por lo tanto $p(x)$ es un no-cero constante, y hemos terminado.

Nota: se puede utilizar menos de la maquinaria. Por ejemplo podemos utilizar el Algoritmo de Euclides para expresar $1$ como una combinación lineal $p(x)(x^2+2x+4)+q(x)(x^3-3)$.