La naturaleza de un punto fijo en el sistema dinámico

Question

Tengo el siguiente sistema:

$\dot{x}=y+x(x^4+2x^2y^2-4x^2+y^4-4y^2+4)(8-(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}})^3$ $\dot{y}=-x+y(x^4+2x^2y^2-4x^2+y^4-4y^2+4)(8-(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}})^3$

Usando coordenadas cilíndricas esto puede ser reescrita como:

$\dot{r}=r(r^2-2)^2(8-r^3)^3$

$\dot{\theta}=-1$

Hay un único punto fijo en el origen y quisiera investigar su naturaleza.

El uso de coordenadas cartesianas de la matriz jacobiana en el punto (0,0) es$\begin{bmatrix}2048&&1\\-1&&2048\end{bmatrix}$, lo que sugiere que este punto es un foco inestable (en sentido horario).

El uso de las coordenadas cilíndricas de la matriz jacobiana en el punto (0,0) es $\begin{bmatrix}2048&&0\\0&&0\end{bmatrix}$ que no nos da ninguna información.

Así que de acuerdo a esta información llego a la conclusión de que el punto fijo (0,0) es un foco inestable. Sin embargo, cuando me trazar el retrato de fase de este sistema en mathematica se muestra como una estrella nodo. Hay un problema con mis cálculos? Es una estrella nodo o foco inestable? Gracias.

Answer 1

Los autovalores de su sistema linealizado se $2048+i$$2048-i$. Esto sugiere que la tasa de crecimiento en la dirección radial será mucho más rápido que la velocidad de rotación.

Más generalmente, la solución general del sistema lineal

\begin{align} x' &= gx+y \\ y' &= -x+gy \end{align} es \begin{align} x(t) &= c_1 e^{g t} \cos (t)+c_2e^{g t} \sin(t) \\ y(t) &= c_2 e^{g t} \cos (t)-c_1e^{g t} \sin (t). \\ \end{align}

Así, podemos ver que el mayor $g$, más rápido que la tasa de crecimiento radial en relación a la rotación. Aquí tenemos una ilustración de la fase de retratos para los distintos valores de $g$:

Answer 2

Desde el concepto Cartesiano de la descripción, se ha encontrado que el origen es un foco inestable, con autovalores $\lambda_{\pm} = 2048 \pm i$. La razón que usted no vea el radio de comportamiento en el origen es debido a la expansión radial de la tasa es de un par de miles de veces mayor que la velocidad de giro. En otras palabras, la parte imaginaria es casi insignificante en comparación con la parte real de los autovalores. Así, se parece mucho a un nodo inestable con doble real autovalor $\lambda = 2048$ - que es una estrella.

La razón por la Jacobiana en coordenadas cilíndricas no da mucha información, es que el sistema de coordenadas no está definido en el origen. Allí, todo el segmento de la línea de $\left\{ (r,\theta) \middle \vert\,r=0 \right\}$ se corresponde con un punto de $(0,0)$ en el sistema de descripción.

Usted puede ajustar manualmente el sistema de impulso de la velocidad angular, es decir, el uso de $\dot{\theta} = - 1000$. A continuación, verás que recuperar el 'focus'-tipo de comportamiento que inicialmente se espera de los análisis.