Cubrir el plano con discos

Question

¿Cómo demostrar que es imposible cubrir el plano con discos? /Los discos son discos cerrados y dos discos pueden encontrarse (como máximo) en un solo punto (obviamente en la frontera)./ ¡Muchas gracias de antemano! Edit: Los discos no son de radio fijo.

Answer 1

He aquí una prueba algo más elemental (sin propiedad Baire :-) que construye explícitamente un punto no cubierto por un conjunto dado de discos (casi) no superpuestos.

Fijando una enumeración de los puntos con coordenadas racionales, podemos enumerar los discos en el orden en que los encontramos al enumerar estos puntos. (Si dos discos se tocan en ese punto, podemos enumerarlos en el orden léxico de sus centros). Así que hay un número contable de discos, y por tanto un número contable de pares de discos, y por tanto un número contable de puntos de contacto de los discos, y también un número contable de puntos superiores e inferiores de los discos (puntos con extremos $y$ coordenadas).

Elige algún punto $p_1$ en el plano que tiene un $y$ -coordenadas diferentes de todos los puntos de contacto, puntos superiores y puntos inferiores. Se procede a cubrir el plano con los discos según la enumeración hasta $p_1$ se cubre. A continuación, salir del disco de cobertura en el positivo $x$ dirección a un punto aún no descubierto $p_2$ más allá de su límite, sin puntos cubiertos entre ellos. Esto es posible, ya que el punto que golpea en el límite no es un punto de contacto, y sólo se han cubierto finitamente muchos discos, por lo que debe haber un espacio finito más allá del límite. Ahora continúe cubriendo discos de acuerdo con la enumeración hasta que $p_2$ se cubre, y vuelve a salir del disco de cobertura a un punto aún no cubierto $p_3$ más allá del límite, pero esta vez moviéndose en sentido negativo $x$ dirección. Continúe alternando entre el movimiento a la derecha y el movimiento a la izquierda. El resultado es una serie alternada de movimientos por distancias estrictamente decrecientes (ya que nunca retrocedemos más allá de los puntos anteriores, ahora cubiertos), que converge a algún punto a la derecha de todos los puntos con número impar y a la izquierda de todos los puntos con número par. El punto límite no puede estar en el interior de un disco, ya que los puntos están eventualmente fuera de cada disco. Pero para estar en el límite de un disco, tendría que ser un punto superior o inferior, ya que estos son los únicos de los que se puede saltar alternativamente a la izquierda y a la derecha al converger a ellos. Pero el punto límite tiene el $y$ coordenada en la que empezamos, y que era por supuesto no la $y$ coordenada de cualquier punto superior o inferior. Así, el punto límite no está ni en el interior ni en la frontera de ninguno de los discos.

He intentado evitar el argumento de los puntos superiores o inferiores utilizando la prueba de Dirichlet con tres direcciones en ángulos de $120^\circ$ (inspirado en la junta apolínea) en lugar de la prueba de series alternas, pero no pude hacer que funcionara avísame si puedes.

Para los interesados en saber si una prueba requiere el axioma de elección: ésta no lo requiere, ya que podemos hacer explícitas todas las elecciones. El orden léxico que decide cuál de los dos puntos que se tocan en un punto con coordenadas racionales hay que enumerar primero es explícito; el punto "más allá del límite" puede ser el primer punto aún no descubierto a una distancia $2^{-n}$ de la frontera sin puntos cubiertos entre ellos; y sólo necesitamos una única elección de un punto inicial y de una enumeración de los puntos con coordenadas racionales.

Answer 2

Supongamos que $\mathbb{R}^2 = \cup_{n \geq 0} \bar{D}(x_n,r_n)$ y que el $D(x_n,r_n)$ son disjuntos. Entonces $X = \cup_{n \geq 0} C(x_n,r_n) = \mathbb{R}^{2} \setminus \cup_{n \geq 0} D(x_n,r_n)$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^2$ En particular, es un espacio métrico completo. $X$ siendo la unión contable de subconjuntos cerrados, por la propiedad de Baire existe un círculo $C(x_n,r_n)$ que contiene un subconjunto abierto no vacío de $X$ es decir, hay un punto $y \in C(x_n,r_n)$ y un $\epsilon > 0$ tal que $X \cap D(y,\epsilon) \subset C(x_n,r_n)$ .

Tomemos un punto $z \in D(y,\epsilon) \setminus \bar{D}(x_n,r_n)$ (¡es hora de hacer un dibujo!). A continuación, $z \in \bar{D}(x_m,r_m)$ para algunos $m \neq n$ . Así que $C(x_m,r_m)$ es disjunta de $D(y,\epsilon)$ lo que implica que, o bien $D(y,\epsilon) \subset \bar{D}(x_m,r_m)$ o $D(y,\epsilon) \cap \bar{D}(x_m,r_m) = \emptyset$ . Pero $z \in D(y,\epsilon) \cap \bar{D}(x_m,r_m)$ , por lo que obtenemos que $D(y,\epsilon) \subset \bar{D}(x_m,r_m)$ pero luego $D(y,\epsilon) \cap \bar{D}(x_n,r_n) \subset \bar{D}(x_n,r_n) \cap \bar{D}(x_m,r_m)$ por lo que este último tiene más de un punto, lo cual es una contradicción.

Answer 3

Esta es una respuesta que en su mayor parte no se debe a mí:

Supongamos que existe tal cobertura. El conjunto de todas las líneas que pasan por el centro de uno de los discos es incontable y, por tanto, al menos una de esas líneas no toca ninguno de los puntos de tangencia entre los discos. Esta línea se divide entonces en intervalos cerrados (contablemente numerosos) disjuntos, lo que es imposible ya que los puntos finales de esos intervalos forman un conjunto perfecto.