Mostrando que el operador es acotado y encontrar su norma.

Question

Tengo este operador $T: L^p(0,\infty)\rightarrow L^p(0,\infty)$, $1<p<\infty$ :

$(Tf)(x)=1/x\int_0^xf(t)dt$.

Se supone que debo demostrar que es limitado y fint su norma. Yo tenía una idea que casi trabajó para demostrar que lo era limitada, pero luego me encontré con un problema. Y además, yo no ver cómo demostrar que su norma es q?, donde q es dado por $1/p+1/q=1$.

En primer lugar tenemos:

$|(Tf)(x)|\le1/x\int_{[0,x]}|f|dt=1/x\int_{[0,x]}|f|\cdot1dt$, y luego por el titular de la:

$\le1/x(\int_{[0,x]}|f|^pdt)^{1/p}(\int_{[0,x]}1^gdt)^{1/q}\le \|f\|_px^{-1+1/q}=\|f\|_p/x^{1/p}$. Pero esta función no es en $L^p(0,\infty)$. Y mostrando que la norma es q, yo realmente no sé cómo hacerlo.

¿Ustedes tienen algún consejo?

Answer 1

Desde funciones continuas con soporte compacto, obviamente, pertenece a $\mathcal{L}^{p}(0,\infty)$, en primer lugar a resolver el problema para que la clase de funciones y, a continuación, intentar terminar de una densidad estándar-argumento.

Así que supongamos $f$ es no-negativos. Entonces es bastante sencillo probar el teorema fundamental del cálculo que $$\lim_{x\rightarrow 0+} T(f)(x)=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\, dt=f(0+)$$ and that the operator is well-defined for every other $x>0$. Now an integration by parts gives that $$||T(f)||_{p}^{p}= x\cdot T(f)(x)\,|_{0}^{\infty} +p\int_{0}^{\infty}\left(T(f)(x)^{p} -T(f)(x)^{p-1}f(x)\right) \, dx= $$ $$p\cdot ||T(f)||_{p}^{p} -p\int_{0}^{\infty}T(f)(x)^{p-1}f(x) \, dx$$

La recopilación de los términos relacionados con la $||T(f)||_{p}^{p}$ y la división y el uso de los Titulares de la desigualdad obtenemos $$||T(f)||_{p}^{p}= \frac{p}{p-1}\int_{0}^{\infty}T(f)(x)^{p-1}f(x)\, dx\leq \frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}T(f)(x)^{(p-1)q}\, dx\right)^{1/q}\cdot ||f||_{p}=$$ $$\frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}T(f)(x)^{p}\, dx\right)^{1/q}\cdot ||f||_{p}= \frac{p}{p-1}\cdot ||T(f)||_{p}^{\frac{p}{q}}\cdot ||f||_{p}$$ Where $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Now assuming $||T(f)||_{p}$ is non-zero otherwise the claim is trivial, we divide and obtain that $$||T(f)||_{p} \leq \frac{p}{p-1}\cdot ||f||_{p}$$ for every non-negative continuous function $f$ con soporte compacto.

Ahora con el simple hecho de que $|T(f)(x)| \leq T(|f|)(x)$ por cada $x\in (0,\infty)$

El resultado inmediatamente, se extiende a todas las funciones continuas con soporte compacto en $(0,\infty)$.

Para acabar, vamos a $g$ ser arbitraria $\mathcal{L}^{p}(0,\infty)$ $\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ funciones continuas con soporte compacto que converge a $f$ $\mathcal{L}^{p}$- norma. La podemos extraer e subsequence $\left\{f_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}$ que converge a $g$ en casi todas partes en $(0,\infty)$.

Ahora el uso de Fatou del Lexema, finalmente, que el $$||T(g)||_{p}\leq \liminf_{j\rightarrow \infty} \, ||T(f_{n_{j}})||_{p}\leq \liminf_{j\rightarrow \infty} \, \frac{p}{p-1}||f_{n_{j}}||_{p}\leq \limsup_{j\rightarrow \infty} \, \frac{p}{p-1}\left(||f_{n_{j}}-g||_{p} +||g||_{p}\right)= \frac{p}{p-1}||g||_{p}$$