Prueba por contradicción. Negación del enunciado

Question

Esta debería ser una pregunta fácil. Sin embargo, la solución proporcionada me confunde.
La pregunta procede de "Understanding analysis" de S. Abbot, 2ª edición ( Ejercicio 1.2.11 ).

Niega la afirmación. Adivina intuitivamente si la afirmación o su negación es la verdadera.

(b) Existe un número real $x > 0$ tal que $x < 1/n\;\;\forall n \in \mathbb{N}$ .

La solución proporcionada dice:

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La solución parece correcta, aparte de que: la negación no debería ser con $\exists n \in \mathbb{N}$ es decir: $$\forall x >0 \;\; \exists n \in \mathbb{N}: x \geq 1/n$$ ?

Answer 1

Por eso, poner cuantificadores al final de una fórmula es una mala práctica. Crea ambigüedad. Los enunciados

1. $(\forall n \in \mathbb{N})(\exists x > 0)(x < \frac{1}{n})$
2. $(\exists x > 0)(\forall n \in \mathbb{N})(x < \frac{1}{n})$

no son equivalentes. La segunda es obviamente falsa, sin embargo es más probable interpretar su formulación como la segunda afirmación. Sin duda, la primera afirmación es lo que realmente se quiere decir. Para demostrar por contradicción, necesitamos su negación, que es la siguiente: $$(\exists n \in \mathbb{N})(\forall x > 0)\left(x \ge \frac{1}{n}\right)$$

Answer 2

En cuanto a Ej. 1.2.11 (b) :

Forma la negación lógica de [...] existe un número real $x > 0$ tal que $x < \dfrac 1 n$ para todos $n \in \mathbb N$ ,

la fórmula a negar es :

$\exists x > 0 \ \forall n \in \mathbb N \ (x < \dfrac 1 n)$ .

Por lo tanto, tou tiene razón. La negación correcta será :

$\forall x > 0 \ \exists n \in \mathbb N \ (x \ge \dfrac 1 n)$ .

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Pero en la solución aportada, el autor expone una prueba del enunciado; de ahí que tengamos que suponer que la fórmula anterior no es a la que alude el autor.

En cambio, tenemos que transaltar la declaración semiformal con :

$\forall n \in \mathbb N \ \exists x > 0 \ (x < \dfrac 1 n)$

lo cual es cierto.

Su negación será entonces : $\exists n \in \mathbb N \ \forall x > 0 \ (x \ge \dfrac 1 n)$ .

Answer 3

Existe un número real $x > 0$ tal que $x < 1/n\;\;\forall n \in \mathbb{N}$ .

¿Es realmente válida esta afirmación? Vamos a comprobarlo.

$nx<1 \;\;\forall n\in\mathbb{N}$ sólo es válido para $x\leq 0$ .

(Porque $n$ se hace muy grande, y si $x\gt 0$ entonces $nx$ diverge al infinito)

Así que no hay tal $x$ existe.