Sé que el plano proyectivo real $P^2$ puede pensarse como la unión de una banda de mobius y un disco, donde la unión se produce entre el límite común de ambos (círculo).
Mi pregunta es sobre $P^3$ . No sé cómo describirlo. ¿Es la unión de dos colectores como $P^2$ ¿Y si es así, cuáles son?
Hay una generalización muy natural de cómo te imaginas $RP^2$ :
Todo espacio proyectivo $RP^n$ tiene hasta el isomorfismo un único haz de líneas no trivial. Esto se reduce a la banda de Mobius para $n=1$ y, por tanto, generaliza esta noción. De hecho, queremos tomar el haz de discos $D(RP^n)$ aquí, para que tengamos límites.
Ahora el límite de $D(RP^n)$ es obviamente conectado, de hecho, ya que el haz de líneas es no trivial, la frontera que es el haz de esferas correspondiente cubre doblemente $RP^n$ restringiendo la proyección. Por lo tanto, es $S^n \cong \partial D^{n+1}$ y obtenemos $RP^{n+1}$ como la unión de $D(RP^n)$ y $D^{n+1}$ a lo largo del límite común.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Si por unión te refieres a la suma conectada entonces dudo mucho que haya alguna descomposición interesante. Si permites unir dos espacios de forma no trivial entonces hay descomposición canónica $\mathbb{R}P^3 = \mathbb{R}P^2 \cup_{S^2} D^3$ y la función de "encolado" es de dos cubiertas de $S^2$ .