Una pregunta sobre el grupo aditivo de la $p$-ádico enteros

Question

Deje $J_p$ ser el grupo aditivo de la $p$-ádico enteros. Sé que es de torsiones. No estoy muy cómodo con $p$-adic.

Es posible encontrar una suma directa de una infinidad de subgrupo cíclico en $J_p$? (básicamente me estoy preguntando si tienen finito rango especial o no).

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Me encuentro en la Wikipedia que efectivamente se han infinito rango. Pero todavía no puedo encontrar que la suma directa.

Answer 1

Reescritura completa:

Para esto, usted necesita para buscar en el campo de fracción $\Bbb Q_p$ de la $p$-ádico entero anillo de $\Bbb Z_p$. Es un espacio vectorial sobre $\Bbb Q$, y de acuerdo a un conocido teorema de la función en el Axioma de Elección, hay un $\Bbb Q$-base de este espacio vectorial. Desde $\Bbb Q_p$ es incontable, la base debe ser incontables así. Para cada una de las $\beta$ en la base, hay un número racional $\lambda_\beta$ tal que $\lambda_\beta\beta\in\Bbb Z_p$. Ahora toma el (uncountably indexados) suma directa de $\bigoplus_\beta\lambda_\beta\beta\,\Bbb Z$. Ahí estás.