¿Cuando un punto de acumulación no es el límite de cierta secuencia en un espacio topológico?

Question

En general un espacio topológico $(X,\tau)$ definimos una acumulación punto de $x_0$ de un conjunto $A$ a un punto tal que cualquier barrio acerca de la $x_0$ intersecta $A$.

Ahora es cierto que si una secuencia $x_n\in A$ tiende a alguno de los límites $x \in X$, $x$ debe ser un punto de acumulación de a $A$ desde $x_n$ se encuentra en el barrio de $x$ todos los $n$ lo suficientemente grande, y así se encuentra en la intersección de este barrio y $A$.

Lo que me gustaría saber es: ¿hay alguna (preferiblemente primaria) ejemplos de un espacio topológico con un subconjunto $A$ que tiene un punto de acumulación que no es el límite de cualquier secuencia en la $A$. Yo también agradecería información sobre las condiciones en un espacio que implica que cualquier punto de acumulación de a $A$ es el límite de alguna secuencia en $A$.

Por ejemplo, si $X$ es la primera contables (por ejemplo, cualquier espacio métrico), entonces es fácil mostrar que cualquier punto de acumulación de a $A$ debe ser el límite de alguna secuencia de puntos en $A$. Intuitivamente esto es porque, por un punto dado,$x$, podemos encontrar una secuencia anidada de abrir establece que "se hacen más pequeños" y, eventualmente, puede estar contenida en cualquier barrio de $x$, por lo que estos anidada abrir conjuntos de "contrato de alrededor de $x$, lo que nos permite encontrar una secuencia.

Answer 1

He aquí dos ejemplos:

1. El cerrado ordinal espacio de $\omega_1 + 1 = [ 0 , \omega_1 ]$ que consta de todos los contables ordinales así como la menos incontables ordinal $\omega_1$. Es fácil ver que $\omega_1 \in \overline{[ 0 , \omega_1 )}$, pero desde cualquier secuencia en la $[0 , \omega_1 )$ es contable, que tiene un límite superior $\beta$ que es una contables ordinal, y $( \beta , \omega_1 ]$ es una vecindad de a $\omega_1$ disjunta de la secuencia.

2. La Piedra–Čech compactification $\beta \mathbb{N}$ del espacio discreto $\mathbb{N}$. Este espacio tiene la propiedad de que no hay no trivial (es decir, finalmente no constante) secuencias convergentes. (Para un poco de información básica acerca de este espacio de Dan Ma de Topología del Blog.) Tenemos que $\mathbb{N}$ es un subconjunto denso de $\beta \mathbb{N}$, pero no hay secuencia en la $\mathbb{N}$ pueden converger fuera de $\mathbb{N}$.

(Considerar también esta respuesta anterior de la mina, y posiblemente también a esta pregunta y sus respuestas.)

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Para los interesados:

Uno puede llevar a creer que el problema es que las secuencias son "demasiado corto", y que las cosas iban a cambiar si sólo se nos permitió el uso de "no" secuencias. Esto es casi cierto.

Definición. Un espacio topológico $X$ se llama radial si por cualquier $A \subseteq X$ y cualquier $x \in \overline{A}$ hay un transfinito secuencia $\langle x_\xi \rangle_{\xi < \alpha}$ (donde $\alpha$ es un ordinal) en $A$ que converge a $x$. (La definición de convergencia en este sentido es la extensión natural de secuencia de convergencia.)

No es demasiado difícil mostrar que $\omega_1 +1$ es radial (de hecho, sólo tenemos que permitir secuencias de longitud $\omega_1$ a la captura de esta propiedad).

Sin embargo $\beta \mathbb{N}$ no es ni siquiera radial!

Answer 2

Otro ejemplo: Un espacio de innumerables $X$ con topología (co contable) complemento contable.

Prueba: Escoge cualquier punto $x\in X$. Es el punto de acumulación de $A=X\setminus \{x\}$, sin embargo, no es el punto límite de $A$. Puesto que para cualquier subconjunto contable $S$ $A$, $U=X\setminus S$ es un conjunto abierto de $x$, que satisface que $U \cap S=\emptyset$.

Answer 3

Aquí es un compacto Hausdorff ejemplo, usted podría considerar la posibilidad de que el más fácil.

Deje $X$ ser el "cubo" $[0,1]^{[0,1]}$. Es decir, el espacio de todas las funciones $[0,1] \to [0,1]$ en la topología de pointwise convergencia. Deje $A = \{ f \in X : f \text{ is continuous, and } \int_0^1 f(t) \ dt \geq 1/2\}$. A continuación, el cero de la función es un punto de acumulación de a $A$ (para cada conjunto finito $x_1,\ldots,x_n \in [0,1]$, hay un $f \in A$ que se desvanece en todos ellos). Pero, no puede haber ninguna secuencia $f_n \in A$ convergentes pointwise a cero (sugerencia: use la Lebesgue teorema de convergencia dominada).

También se puede cortar $[0,1]^{[0,1]}$ hasta el subespacio de funciones polinómicas con coeficientes racionales para obtener un ejemplo donde el espacio $X$

• ha countably muchos puntos
• es un espacio de Tychonoff (por ser un subespacio de $[0,1]^{[0,1]}$)
• es cero-dimensional, en el sentido de que, siempre que $f,g \in X$ son distintos, hay una partición de $X$ a abrir conjuntos de $U,V$, de modo que $f \in U, g \in V$.

Tomé este ejemplo de un poco de "simulacro de papel" que escribí para un curso de una vez. Vea el Ejemplo 4 en http://arxiv.org/abs/1210.1008.

Answer 4

Ahora es cierto que si una secuencia de $x_n∈A$ tiende a un límite $x∈X$, $x$ debe ser un punto de acumulación de $A$

¿A menos que la secuencia es constante, a la derecha?

Por ejemplo, si X es el primero contable (por ejemplo, cualquier espacio métrico)

¿Espacios métricos no necesitan espacio contable?