Confundido cuando se cambia de Lebesgue la Integral de Riemann Integral

Question

Actualmente, estoy estudiando Cálculo Estocástico a través de Shreve II. Tengo una pregunta sobre el cambio de ida y vuelta entre Lebesgue y la Integral de Riemann.

Supongamos que tenemos un no-negativo de la variable aleatoria $X$ definido sobre un espacio de probabilidad $(\Omega, F, P)$ con distribución exponencial:$$P(X<x) = 1-e^{-\lambda x}$$

Escrito en la Integral de Lebesgue, el valor esperado de $X$ puede ser escrita como: $$E[X] = \int_{\{{\omega \mid X(\omega) \geq 0}\}}^{ }X(\omega)dP(\omega)$$

Pregunta: ¿Cómo es exactamente lo pasamos de $\omega$ en la Integral de Lebesgue a $x$ en la integral de Riemann de manera que obtenemos $$E[X] = \int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx$$

Qué tiene que ver esto con el hecho de que debemos definir nuestro $\Omega$ a ser el Borel $\sigma$-álgebra $B(\mathbb{R})$ y simplemente definen $X(\omega) = \omega$ no negativos $\omega$'s?

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

En realidad no es una cuestión de cambio de Lebesgue la integral de Riemann integral, se trata de un cambio de medidas (una especie de cambio de variables).

Por definición, $X : \Omega \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria, $E[X]=\int_{\Omega}X$.

$X$ se define una medida $\widetilde{m}$ en $\mathbb{R}$, llama la empuje hacia adelante, por $\widetilde{m}(A)=P(X^{-1}(A)).$ , Por definición, esta medida es invariante bajo $X$, y por lo tanto \begin{equation} \tag{1} \int_{\mathbb{R}} f d\widetilde{m}= \int_{\Omega}f \circ XdP. \end{equation} La igualdad se sigue de la habitual (argumentos para demostrar las características, funciones simples, a continuación, utilizar la convergencia. Recordemos que $\mathbf{1}_A \circ X=\mathbf{1}_{X^{-1}(A)}$).

Deje $h$ ser la densidad de $X$. Tenemos, entonces, por definición de densidad, que $\widetilde{m}(A)=P(X^{-1}(A))=\int_A h dm$ cualquier $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, donde $m$ es la medida de Lebesgue. Por "cambio de variables" (que es el Teorema de $1.29$ en Rudin en la RCA, por ejemplo, pero es sólo otro ejemplo de repetir el argumento de la prueba para las características, funciones simples y el uso de convergencia), tenemos: \begin{equation} \tag{2} \int_{\mathbb{R}} f d\widetilde{m}=\int_{\mathbb{R}}f \cdot h dm. \end{equation} La combinación de $(1)$ e $(2)$, $$\int_{\mathbb{R}} f \cdot h dm= \int_{\Omega}f \circ X dP. $$ Tomando $f=\mathrm{Id}$rendimientos $$\int_{\mathbb{R}} x h(x)dx= \int_{\Omega} X dP=E[X]. $$ Tomando $f=\mathrm{Id}\cdot\mathbf{1}_I$, donde $I$ es un intervalo (por ejemplo, $(0,+\infty)$ como en tu caso), tenemos $$\int_{I} x h(x)dx= \int_{X^{-1}(I)} X dP, $$ recordando una vez más que $\mathbf{1}_A \circ X=\mathbf{1}_{X^{-1}(A)}$. Desde $P(X<0)$ , en tu caso es $0$, esta última integral es en realidad igual a la integral sobre todo el espacio, y, por tanto, a $E[X]$, lo que le da su igualdad.

Answer 2

Por definición como una variable aleatoria, $X: \Omega \to \mathbb{R}$ es medible con una función de distribución

$$F(x) = P[X < x] = 1- e^{-\lambda x}$$

Se puede construir una no disminución de la secuencia de aproximación de paso las funciones de $(\phi_n)$ convergentes pointwise a $X$ y de la forma

$$\phi_n = \sum_{j=1}^{m(n)}x_{j-1}^{(n)}\mathbf{1_{A_j^{(n)}}}$$

donde $A_j = \{\omega: x_{j-1}^{(n)} \leqslant X(\omega) < x_j^{(n)} \}$ e $[0,\infty) = \bigcup_{j=1}^\infty[x_{j-1}^{(n)},x_j^{(n)})$ con $m(n) \to \infty$ e $x_j^{(n)}- x_{j-1}^{(n)} \to 0$ como $n \to \infty$.

Por el teorema de convergencia monótona,

$$E[X] = \lim_{n \to \infty}E[\phi_n] = \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{m(n)} x_{j-1}^{(n)}P(A_j^{(n)}) = \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{m(n)} x_{j-1}^{(n)}[F(x_j^{(n)}- F(x_j^{(n)}] $$

Reconociendo el límite en el RHS como la de Riemann-Stieltjes suma obtenemos

$$E[X] = \int_0^\infty x \,dF(x) = \int_0^\infty xF'(x) \, dx = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$$