Deje $p$ ser un primer número y $F$ ser un campo tal que $\textrm{char}(F)\neq p$. Suponga que $X^p-1$ se divide $F$ y dejar: $$\mu_p:=\{x\in F\textrm{ s.t. }x^p=1\}.$$
Proposición 1. Uno tiene que:
(i) $X^p-1$ es un polinomio separable sobre $F$.
(ii) La cardinalidad de a$\mu_p$$p$.
Prueba. Desde $\textrm{char}(F)\neq p$ e es cero o primer, se tiene: $$p\not\in\textrm{char}(F)\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto, $p\in F^\times$ y se obtiene: $$X^{p}-1=(pX^{p-1})(p^{-1}X)-1.$$ Por lo tanto, $X^p-1$ $pX^{-1}$ son coprime y desde el formal derivado de la $X^p-1$ es $pX^{p-1}$, $X^p-1$ es separable sobre $F$. Por lo tanto, $X^p-1$ tiene sólo simple raíces en $F$. Además, desde la $X^p-1$ divisiones más $F$, $X^p-1$ tiene todas sus raíces en $F$ y se obtiene $|\mu_p|=p$. $\Box$
Deje $\zeta\in\mu_p\setminus\{1\}$, con la proposición $1.$ (i) , junto con la del teorema de Lagrange, ya $p$ es primo, se tiene: $$\mu_p=\langle\{\zeta\}\rangle.$$
Deje $F'/F$ ser una extensión de galois tal que $\textrm{Gal}(F'/F)$ es cíclico de orden $p$ y deje $\sigma\in\textrm{Gal}(F'/F)\setminus\{\textrm{id}\}$.
Proposición 2. Existe $a\in (F')^*$: $$a^{-1}\sigma(a)=\zeta.$$
Prueba. Uno tiene: $$\textrm{Gal}(F'/F)=\langle\{\sigma\}\rangle.$$ Además, desde la $F'/F$ es de galois, uno se $(F')^{\textrm{Gal}(F'/F)}=F$ y por tanto: $$N_{F'/F}(\zeta)=1.$$ El uso de Hilbert teorema de los 90, existe una $a\in(F')^*$. $\Box$.
Uno se $\sigma(a)=a\zeta$ y por lo tanto: $$\sigma(a^p)=\sigma(a)^p=(a\zeta)^p=a^p.$$ Hence, since $\textrm{Ga}(F'/F)=\langle\{\sigma\}\rangle$, $^p\(F')^{\textrm{Ga}(F'/F)}=F$.
Tengo duro el tiempo probando la siguiente declaración:
Proposición 3. $F'$ es una división de campo de la $X^p-a^p$$F$.
Prueba. El conjunto de las raíces de la $X^p-a^p$$a\mu_p\subset F'$, por lo $X^p-a^p$ se divide $F'$ y uno tiene que mostrar: $$F'=F(a\mu_p).$$ Desde $F'/F$ es de galois, utilizando fijo del subcampo de la fórmula, se tiene: $$\left[F':F\right]=p.$$ Si $a\mu_p$ es linealmente independiente sobre $F$, estoy hecho, pero yo no puede comprender por qué es cierto. Cualquier ayuda será apreciada.
