Cuando se trata de una serie de Fourier de la analítica?

Question

Por la transformada de Fourier de la teoría, cada continuamente función derivable $f : S^1 \to \mathbf C$ admite un único uniformemente convergente de Fourier de expansión

$$f(\theta) = \sum_{n\in \mathbf Z} a_n e^{in\theta}.$$

¿Existe una condición en la secuencia de $(a_n)$ equivalente a $f$ analítica en $\theta$ en un barrio de $\theta=0$ (lo que significa que tiene un convergentes Taylor expansión $\sum_{m\geq 0}\frac{\theta^m}{m!} b_m$ en un barrio de $0$)?

Escrito $e^{in\theta} = \sum_{m\geq 0} \frac{(in)^m}{m!} \theta^m$, formalmente la conmutación de la suma de dos de los rendimientos

$$f(\theta) = \sum_{n\in \mathbf Z} \sum_{m\geq 0} a_n \frac{(in)^m}{m!} \theta^m = \sum_{m\geq 0} \sum_{n\in \mathbf Z} a_n \frac{(in)^m}{m!} \theta^m = \sum_{m\geq 0}\frac{\theta^m}{m!} b_m$$

donde $$b_m = i^m\sum_{n \in \mathbf Z} a_n n^m.$$

(Comentario de que no es la formal "doble cara" de la serie de Dirichlet

$$L(f, s) = \sum_{n \in \mathbf Z} a_n n^{-s}$$

y formalmente, podemos escribir $b_m = i^mF(-m)$.)

Primera pregunta: ¿es cierto que $f(\theta)$ es analítica en $0$ si y sólo si:

1. las sumas que la definición de la $b_m$'s convergen absolutamente, y
2. la serie $\sum_{m\geq 0}\frac{\theta^m}{m!} b_m$ converge en un barrio de $0$, en cuyo caso coincide con $f$$0$?

Segunda pregunta: ¿se Puede determinar si $f$ es analítica en torno a $0$ directamente al ver la secuencia de $(a_n)$?

Answer 1

Empiezo con la segunda pregunta. Observando los coeficientes $a_n$, usted puede ver fácilmente analiticidad en todos los de $S^1$: contiene iff $|a_n|$ decaimiento exponencial en ambas direcciones. Este es el Ejercicio I. 4.4 a partir de Una Introducción al Análisis Armónico, por Y. Katznelson, 3ª edición:

Mostrar que $f$ es analítica en $\mathbb T$ si y sólo si existen constantes $K>0$ $a>0$ tal que $|\hat f(j)|\le K e^{-a|j|}$.

De hecho, pensar en términos de plano complejo, en sustitución de $\exp(i\theta )$$z$. Dos caras de decaimiento exponencial da convergente de la serie de Laurent en algunas anillo que contiene el círculo. Por el contrario, la analítica de la función en el círculo puede ser extendido a la analítica de la función en algunos de anillo; dicha función se representa por una convergente Laurent de la serie, que da decaimiento exponencial de los coeficientes.

Al mismo tiempo, los coeficientes de Fourier son poco adecuadas para detectar la analiticidad en un punto, ya que toma en cuenta el conjunto de la función. Si usted tiene un descanso en la segunda derivada en algún lugar en el círculo, que es el que va a dominar el comportamiento de los coeficientes; la contribución de la analítica de la pieza en algún lugar va a ser muy pequeñas en comparación.

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Primera pregunta: las condiciones 1-2 son suficientes para la analiticidad en un barrio de $0$, pero no son necesarias. Para empezar, la serie $$b_m = i^m\sum_{n \in \mathbf Z} a_n n^m \tag{1}$$ converge para todos los $m$ fib $|a_n|$ decaimiento más rápido que cualquier potencia de $n$. Este tipo de descomposición es equivalente a $f$ $C^\infty(\mathbb T)$ (véase la sección I. 4 en Katznelson del libro). Por lo tanto, si usted tiene una analítica de la función en un barrio de $0$ que no es $C^\infty$ sobre el círculo entero, la condición para $b_m$ no tiene sentido*.

(*) Se podría tratar de regularizar la divergencia de la serie (1), pero creo que la regularización que equivaldría a la suma de las series de Fourier y, a continuación, la diferenciación de la suma.

Suficiencia puede ser establecido sin reordenamiento de la serie. Como se señaló anteriormente, la convergencia de cada serie en (1) implica $f\in C^\infty(\mathbb T)$. Evaluamos los derivados de la $f$ $0$ tan solo conectando $\theta=0$ en las diferentes series de Fourier. Esto da a los coeficientes de Taylor, en términos de que la analiticidad en $0$ se caracteriza.