Observación. De alguna manera me pasó por alto el hecho de que esta es una pregunta duplicada.
Este es el MSE enlace
para el cálculo original, que no incluyen el PASTEL de componente.
El número de diferentes isómeros puede ser calculado mediante una aplicación de
el Polya Enumeración Teorema (PET) para la permutación de vértices grupo de
el icosaedro regular. No vamos a estar preocupados con la central
vértice como es fijado por todas las rotaciones y sólo añade un factor de dos
para el resultado. El caso general que incluye reflexiones pueden ser
difícil y puede requerir la asistencia de un sistema de álgebra computacional
pero rotaciones solo son sólo lo suficientemente simple que se puede hacer uso de
la pluma y el papel y la imaginación (parece difícil mentalmente
reflejan un icosaedro a través de su centro y el factor resultante
permutación).
Ahora vamos a calcular el ciclo de índice $Z(Q)$ de la permutación de vértices
grupo $Q$ de la icosaedro regular con el fin de aplicar MASCOTA. Como este es
el doble de la dodecaedro regular y el dodecaedro es algo
más sencillo trabajar con nosotros usaremos el dodecaedro y calcular el
la cara de permutación grupo de la dodecaedro regular, que puede ser visto
en esta entrada de la Wikipedia.
Podemos enumerar las permutaciones en este grupo. No es la identidad,
lo que contribuye $$a_1^{12}.$$ Hay dos rotaciones alrededor de un eje
pasando a través de alguno de los diez pares de vértices opuestos, que
contribuye $$10\times 2\times a_3^4.$$ Hay cuatro rotaciones
un eje que pasa a través de los centros de cualquiera de los seis pares de
caras opuestas, por una contribución de $$6\4 veces\times a_1^2
a_5^2.$$ Por último, hay una rotación alrededor de un eje que pasa a través de la
centros de cualquiera de quince pares de lados opuestos, por un
contribución de $$15\times a_2^6.$$
Esto le da al ciclo siguiente índice:
$A$Z(Q)
= \frac{1}{60}
\left(a_1^{12} + 20a_3^4 + 24 a_1^2 a_5^2 + 15 a_2^6\right).$$
que a su vez da la siguiente generación de la función de dos colores y dos tipos de átomos:
$${\frac { \left( 1+z \right) ^{12}}{60}}+1/4\,
\left( {z}^{2}+1 \right) ^{6}+2/5\, \izquierda( 1+z
\right) ^{2} \left( {z}^{5}+1 \right) ^{2}
+1/3\, \left( {z}^{3}+1 \right) ^{4}$$
o, alternativamente,
$${z}^{12}+{z}^{11}+3\,{z}^{10}+5\,{z}^{9}+12\,{z}^{8}+14\,{z}^{7}
\\+24\,{z}^{6}+14\,{z}^{5}+12\,{z}^{4}+5\,{z}^{3}+3\,{z}^{2}+z+1.$$
Este es indexado por el número de instancias de un tipo de átomo.
Respondiendo a la OPs pregunta, si pones un átomo de plata en el centro que deja a cuatro de plata, con ocho de oro, y la generación de función se dice que no se $12$ isómeros. Si pones un átomo de oro en el centro que deja a cinco de plata y siete de oro y la generación de la función dice que no se $14$ isómeros.
Con $N$ diferentes colores podemos obtener la secuencia
$$1, 96, 9099, 280832, 4073375, 36292320, 230719293,
\\ 1145393152, 4707296613, 16666924000,\ldots$$
que nos señala OEIS A000545
donde el cálculo anterior es confirmado.
Tenga en cuenta que podemos derivar una fórmula para el caso de $N$ colores
utilizando el hecho de que es dada por
$$Z(Q)(C_1+C_2+\cdots+C_N)_{C_1=1, C_2=1, \ldots C_N=1}.$$
Este rendimientos
$$a_N = \frac{1}{60}
\left(N^{12} + 44N^4 + 15 N^6\right).$$
La secuencia de $\{a_N\}$ cuenta colorantes utilizando en la mayoría de las $N$ colores y nos
necesidad de usar el principio de inclusión-exclusión (PIE) para obtener el
número de colores con exactamente $M$ colores, llame a esta secuencia
$\{b_M\}.$
Tenemos
$$b_M = \sum_{N=1}^M {M\choose N} (-1)^{M-N} a_N.$$
Esto le da a la secuencia
$$1, 94, 8814, 245008, 2759250, 15884004, 52701264, 106866144, \\
134719200, 103118400, 43908480, 7983360, 0, 0, 0, 0,\ldots$$
que es finito, porque sólo hay doce vértices disponibles para
dibujos para colorear y por lo tanto no hay colorear con trece diferentes colores, etc.
Observar que
$$\frac{12!}{60} = 7983360$$
que es porque con doce colores diferentes todos órbitas tienen el mismo tamaño, es decir, $60.$
Esta lista en MSE Meta tiene muchas más Polya / Burnside cálculos por varios usuarios.
