Una propiedad del área de cuadriláteros

Question

No conocía esta propiedad de cuadriláteros, me propuso un estudiante. Yo no podía probar en el primer intento, pero que podía hacer después de dedicar algún tiempo. Quiero compartir aquí a ver si alguien tiene alguna prueba diferente de la mía.

En los cuatro vértices de un cuadrilátero $ABCD$ cuya área es de $S$, se trazan paralelas a dos rectangular de líneas rectas que determina dos rectángulos (en verde en la figura de abajo) cuyas áreas se $R$$r$. Demostrar que $$ R + r = 2S$$

Explicación de las líneas paralelas: El cuadrilátero y un par de las direcciones ortogonales se dan. $A$ $C$ son vértices opuestos. Para un rectángulo, dibuja "horizontal" de las líneas a través de $A$ $C$ y "vertical" líneas a través de las $B$$D$. Por el otro rectángulo, dibuja "vertical" líneas a través de las $A$ $C$ y "horizontal" de las líneas a través de$B$$D$.

Answer 1

Hay una manera inmediata para hallar el área de cualquier polígono plano, y esto da para nuestro cuadrilátero $ABCD$ $$2S =(x_D-x_A)(y_A+y_D)+(x_C-x_D)(y_C+y_D)-(x_B-x_A)(y_B+y_A)-(x_C-x_B)(y_C+y_B)$$ que se simplifica a$$2S=x_C\cdot y_D-x_C\cdot y_B-x_A\cdot y_D+x_A\cdot y_B+x_B\cdot y_C-x_B\cdot y_A-x_D\cdot y_C+x_D\cdot y_A$$ Pero esto es sólo $$(y_D-y_B)(x_C-x_A)+(y_C-y_A)((x_B-x_D)$$, que es el área aparente de los dos rectángulos.

Answer 2

A medida que mueva $C$ a lo largo de la línea recta que pasa a través de $C$ y es paralelo a $BD$, el área del cuadrilátero no cambia. El área de un rectángulo aumenta y el área de la otra disminuye. Para ver que el aumento y la disminución se compensan entre sí exactamente, expresa las áreas explícitamente en términos de coordenadas; luego, para demostrar el hecho de que el desplazamiento es exactamente cero, la condición es exactamente el mismo que el punto de $C$ avanza en paralelo a $BD$ (la pendiente de $BD$ es la misma que la pendiente de $CC'$ donde $C'$ es la nueva posición de $C$).

Así que con el fin de demostrar el resultado en general, que puede moverse a $C$ paralelo a $BD$ hasta encontrar una posición donde podemos probar el resultado. En particular, es suficiente para considerar el caso cuando se $C$ es en la extensión de $AD$ más allá de la $D$.

Luego, con $C$ tan conmovido, se le puede aplicar el argumento igualmente a $D$: podemos mover en paralelo a $AC$ (excepto en este caso $D$ es de $AC$ ya lo $D$ es lo que realmente mueve a lo largo de $AC$). En particular, es suficiente para demostrar el resultado al $D$ es en la parte superior de $A$. Finalmente, mueva $B$ paralelo a $AC$ hasta que está en el mismo "horizontal" $A$ (que es el mismo que $D$ ahora). En ese caso un rectángulo tiene área cero, y el resultado es trivial. Dado que el movimiento de un vértice en paralelo a la diagonal que no está en no cambia la verdad de la declaración, la declaración se demostró en todos los casos.