La dificultad para entender la prueba de que la unidad de intervalo no puede ser dividido en un cierto modo

Question

Del libro "de Putnam y más Allá".

El problema:

Muestran que el intervalo [0, 1] no se puede dividir en dos conjuntos disjuntos a y B tal que B = a + a para algún número real a.

Prueba:

Supongamos que a,B, y satisfacer A∪B =[0,1], A∩B =∅, B =a+a. Podemos suponer que a es positivo; de lo contrario, podemos intercambiar a y B. Entonces (1 − a, 1] ⊂ B; por lo tanto (1 − 2a, 1] ⊂ R. inductivo argumento muestra que para cualquier entero positivo n, el intervalo (1−(2n+1), 1−2na] es en B, mientras que el intervalo (1−(2n+2), 1−(2n+1)] es en A. sin Embargo, en algún punto de esta secuencia de intervalos de hojas [0, 1]. El intervalo de la forma (1 − na, 1 − (n − 1)] que contiene 0 debe estar completamente contenida en el a o de B, lo cual es imposible ya que este intervalo de salidas [0, 1]. La contradicción muestra que la hipótesis es errónea, y por lo tanto la partición no existe.

Yo realmente no entiendo lo que está pasando:

Un argumento inductivo muestra que para cualquier entero positivo n, el intervalo (1−(2n+1), 1−2na] está en la B.

Cómo había llegado a esta conclusión?

El intervalo de la forma (1 − na, 1 − (n − 1)] que contiene 0 debe estar completamente contenida en el a o de B, lo cual es imposible ya que este intervalo de salidas [0, 1].

La redacción es muy confusa. Es simplemente señalando el hecho de que [0, 1] es un intervalo cerrado, mientras que el otro está abierto? - "Este intervalo existe [0, 1]" no es una frase que hace que cualquier sintáctica sentido para mí.

Answer 1

Para tu primera pregunta: Se ha demostrado que la $(1-(2n+1)a, 1-2na] \subseteq B$ al $n = 0$. Supongamos que esta declaración es verdadera para algún entero no negativo,$n$. El hecho de que $B = A + a$ implica que el $(1 - (2n+2)a, 1-(2n+1)a] = (1-(2n+1)a, 1-2na] - a \subseteq A$. Si cualquier punto de $x$ $(1 - (2n+3)a, 1 - (2n+2)a]$ fueron en $A$, $x+a$ tendría que ser en $B$; pero $x+a \in (1 - (2n+2)a, 1-(2n+1)a] \subseteq A$, así que esto es imposible, y debemos tener $(1 - (2n+3)a, 1 - (2n+2)a] \subseteq B$. Es decir, si $(1-(2n+1)a, 1-2na] \subseteq B$,$(1-(2n+3)a, 1-(2n+2)a] = (1 - (2(n+1)+1)a, 1- 2(n+1)a] \subseteq B$, y sigue por la inducción que $(1-(2n+1)a, 1-2na] \subseteq B$ para todos los enteros no negativos $n$.

Para tu segunda pregunta: ¿Parte del problema es que has leído mal 'salidas' como 'existe'. Pero sí, él está señalando el hecho de que si un intervalo de la forma $(x,y]$ contiene $0$, debe contener también algunos negativos de los números reales y por lo tanto no puede ser un subconjunto de a $[0,1]$.

Answer 2

"Cómo había llegado a esa conclusión?"

Mediante el uso de un argumento inductivo, tal y como él dijo.

Así que, usted sabe que $(1-a,1]\subset B$$(1-2a,1-a]\subset A$. Ahora, $1-2a$ tiene que ser en cualquiera de las $A$ o $B$. No puede ser en $A$, debido a que, a continuación,$(1-2a)+a = 1-a\in B$, pero $1-a\in A$ y estamos asumiendo $A\cap B=\emptyset$. Por lo $1-2a\in B$, lo que significa que $1-3a\in A$. No$x$$1-3a$$1-2a$$A$, porque entonces usted tendría algo que se encuentra tanto en $A$ $B$ (desde $x+a$$B$, pero también sería en $A$ desde $1-2a \lt x+a \leq 1-2a$). Por lo $(1-3a,1-2a]\subseteq B$, lo que significa que $(1-4a,1-3a]\in A$.

Supongamos ahora que han demostrado que $(1-(2n+1)a,1-2na]\subseteq B$$(1-(2n+2)a,1-(2n+1)a]\subseteq A$. No podemos tener a $1-(2n+2)a\in A$, por lo que debe ser en $B$; por lo tanto $1-(2n+3)a\in A$, y ahora se puede comprobar que nada entre el $1-(2n+3)a$ $1-(2n+2)a$ $A$ gracias a la inducción de la hipótesis. Esto establece la inducción y la afirmación.

(¿Cómo llegar? Probablemente a lo largo de las líneas de cómo hice el $n=2$ caso anterior).

"Es simplemente señalando el hecho de que $[0,1]$ es un intervalo cerrado..."

Si usted piensa acerca de lo que la parte anterior del argumento muestra, muestra que $A$ $B$ cada una (finito) de la unión de distintos intervalos que se abre a la izquierda y cerrado por la derecha, y seguir alternando hasta llegar a $0$. Es decir, no debe ser algo de $n$ tal que $0\in (1-na,1-(n-1)a]$. Pero usted necesita todos los de ese intervalo contenida en cualquiera de las $A$ o $B$ para la parte anterior a la obra. Pero si $0$ es en un intervalo de la forma$(r,s]$,$r\lt 0$; así que o $A$ o $B$ tiene para contener los números estrictamente menor que $0$, lo cual es imposible.