Calcular el residuo de torres de energía

Question

Quiero calcular el residuo de una potencia de la torre. ¿Cómo puedo hacer eso?

Por ejemplo, quiero saber la respuesta a esta:

$$2 \uparrow\uparrow 10 \pmod{10^9}$$

Answer 1

Cuando se trata con torres de energía con bases no primos relativos al módulo, es útil emplear el Teorema del Resto Chino. Y, a continuación, aplicar repetidamente el el Teorema de Euler.

$2 \uparrow \uparrow 10 \pmod {2^9} = 0$, por lo que sólo necesitamos calcular el $2 \uparrow \uparrow 10 \pmod{5^9}$.

Por el Teorema de Euler, primero tenemos que estudiar $2 \uparrow \uparrow 9 \pmod{\phi (5^9)} = 2 \uparrow \uparrow 9 \pmod{4 \cdot 5^8}$. Así que, como $2 \uparrow \uparrow 9 \equiv 0 \pmod{4}$, así, por el Teorema del Resto Chino, sólo tenemos que resolver el caso al $2 \uparrow \uparrow 9 \pmod {5^8}$

Del mismo modo de proceder en cada paso, vamos un par de niveles más profundos, para conseguir que necesitamos para resolver la congruencia $2 \uparrow \uparrow 4 \pmod{4 \cdot 5^3}$. Como $2 \uparrow \uparrow 4 = 2^{16} = 256^2 \equiv 6^2 \equiv 36 \pmod{125}$, por lo que tenemos que $2 \uparrow \uparrow 4 \equiv 36 \pmod{4 \cdot 5^3}$$4| 36$.

Ahora, tenemos que desenvolver los cálculos. $2 \uparrow \uparrow 5 = 36^2 \equiv 1296 \pmod{5^4}$, por lo tanto $2 \uparrow \uparrow 5 \equiv 1296 \pmod{4 \cdot 5^4}$$4|1296$.

En esta etapa, los cálculos se vuelven demasiado tedioso de realizar, pero espero que usted consigue la idea.