Es esta secuencia convergente para n en números naturales

Question

Es $a_n = \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}$ convergente? Si es así encontrar su límite.

Heres lo que he intentado:

$... < \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} < \frac{n}{n} = 1$

¿Qué debo poner en el lado izquierdo de la desigualdad? He intentado $\frac{n}{2n}$, pero que tiende a la mitad y no puedo pensar en la solución de este en cualquier otra forma, salvo que el apriete de la regla.

Answer 1

Usted puede escribir que para $n \in \mathbb{N}^{*}$ $$a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$$ Lo que yo uso para prueba de esto ( sin el uso de un ya conocido de equivalencia ) es decir que la función de $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$ está disminuyendo ( y es positivo y tiende a $0$ ). Por lo tanto, si usted dibuja una función decreciente puede vinculado a la función en $[n,n+1]$ por dos área rectangular : una pequeña y una grande. Como se muestra a continuación :

Así está escrito como $$\int_{k}^{k+1}\frac{\text{d}t}{t} \leq \frac{1}{k} \leq \int_{k-1}^{k}\frac{\text{d}t}{t}$$

Sumando con Chasles relación con $n \geq 2$ $$\int_{n}^{2n+1}\frac{\text{d}t}{t} \leq a_n \leq \int_{n-1}^{2n}\frac{\text{d}t}{t}$$ entonces $$\ln\left(\frac{2n+1}{n}\right) \leq a_n \leq \ln\left(\frac{2n}{n-1}\right)$$

A continuación, la secuencia $\displaystyle \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ converge y $\displaystyle a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}\ln\left(2\right)$.

Answer 2

Esta es claramente una suma de Riemann para$k=0$$k=n$$n \to\infty$. Así,

$$a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

$$\int_0 ^1 \frac{1}{1+x}dx=\ln2$$

Answer 3

La reescritura de la suma como $\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$.

El primer término $\frac{1}{n}\to 0$ al $n\to\infty$.

En cuanto al segundo término, se observa que es una (inferior) de la suma de Riemann para$\int_0^1\frac{dx}{1+x}$, por lo que, al $n\to\infty$, el límite existe y es igual a $\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2-\log 1=\log 2$.

Finalmente, esto significa que el límite de la secuencia original es $\log 2$.

Answer 4

Es lo mismo que $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx$.

Answer 5

El de Euler-Maclaurin suma fórmula captura la intuición de que podemos aproximar la suma por una integral. Da: $$\sum_{y<k\leq x}f(k) = \int_y^xf(t)dt+\int_y^x\{t\}f'(t)dt-\{x\}f(x)+\{y\}f(y)$$ para $f\in C^1[y,x]$ continuamente diferenciable, donde $\{\cdot\}$ es la parte fraccionaria.

En particular, cuando se $f\to0$$\infty$$\int_1^\infty f'<\infty$, esto le da a $\sum_{y\leq k\leq x}f(k) = \int_y^xf(t)dt+\varepsilon(x,y)$ donde$\varepsilon\to0$$y\to\infty$.

En este caso, con $y=n, x=2n, f(t)=1/t$:

$$\sum_{n\leq k\leq 2n}\frac1k = \int_n^{2n}\frac{dt}t+o(1) = \log 2+o(1)$$ (donde $o(1)$ está poco o notación, lo que significa que va a$0$$n\to\infty$). Uno puede hacer la diferencia explícita y demostrar que es en la mayoría de las $2/n$.