Descripción del problema: Evaluar el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to \infty }{e^{-x^2}\int_{x}^{x+\frac{1}{x}} e^{t^2}dt}$ .
Los libros de soluciones utilizan la regla de L'Hopital, y hacen lo siguiente:
$\displaystyle\lim_{x \to \infty }\frac{\displaystyle\int_{x}^{x+\frac{1}{x}} e^{t^2}dt}{e^{x^2}}$ $=\displaystyle\lim_{x \to \infty }\frac{e^{{(x+\frac{1}{x})}^2} - e^{x^2}}{2xe^{x^2}}$ .
Mi preocupación es que no debería ser $\displaystyle\lim_{x \to \infty }\frac{\displaystyle\int_{x}^{x+\frac{1}{x}} e^{t^2}dt}{e^{x^2}}$ $=\displaystyle\lim_{x \to \infty }\frac{e^{(x+\frac{1}{x})^2)}(1- \frac{1}{x^2}) - e^{x^2}}{2xe^{x^2}}$ .
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Sí: tienes razón. De todos modos, el factor $(1-1/x^2)$ enfoques para $1$ , por lo que se puede ignorar.
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@Crostul. Tienes razón en lo del factor extra, pero ten mucho cuidado al afirmar que se puede ignorar por acercarse $1$ . No es prudente tomar un límite "a medias" en un factor y seguir calculando el límite en la parte restante. El "producto de los límites es el límite del producto" no se aplica aquí...