una extraña secuencia con un término integral no

Question

Definir una secuencia $(a_n)_{n \geq 1}$ $$na_n = 2 + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_i^2.$ $

(En particular, $a_1 = 2$.)

¿Cómo se puede mostrar - preferiblemente sin usar una pc! - que no todos los términos de la secuencia son parte integral?

Y que será el primer término?

Motivación: nada interesante que decir, es un problema aleatorio que tengo de alguien - yo no tengo ninguna referencia - y que me interesaba. Generalmente uno tiene que demostrar que todos los términos están integral :)

Pensamientos: nada interesante. Los términos están obteniendo rápidamente enorme...

Answer 1

Secuencias como esta a veces se llaman secuencias de Somos (y a veces secuencias de Gobel) y puedes encontrar información sobre ellos en el problema E15 en chico, problemas sin resolver en teoría de números y en las referencias que da chico; También estoy seguro de escribir Somos o Gobel en tu buscador favorito se suba algo.

Answer 2

Mis 2 centavos (ha ha): tal vez el enfoque es mostrar que el poder de dividir el $2+\sum_{i=1}^{n-1}a_i^2$ 2 es finalmente menos que la potencia del 2 $n$, y que de alguna manera se trata de mirar en $a_{2^n}$. A seguir jugando con él un poco.

(inspirado por este tipo de argumento que los números armónicos no son números enteros)