¿Cómo se demuestra que una función definida implícitamente no puede hacerse explícita?

Question

Consideremos, por ejemplo, la función

$$x^2 e^y + \log(x)y^2 = 0$$

Sospecho que ni x ni y se pueden aislar en esta función (es decir, no se puede escribir como $x(y)$ o $y(x)$ . Sin embargo, no puedo demostrarlo más que decir que "es difícil de hacer, si no imposible".

¿Existe algún método por el que se pueda demostrar que ningún número finito de operaciones algebraicas conducirá a dicha simplificación? (La función anterior se presentó como un ejemplo, pero estoy buscando una solución general)

Answer 1

Por cierto, esto es obviamente imposible usando cualquier tipo de función si hay dos soluciones diferentes para la ecuación en x para cualquier y y viceversa.

Considerando alguna definición general implícita de la forma $f(x,y) = 0$ esto no puede escribirse como $x(y)$ si existe un $y$ para lo cual hay dos $x_1, x_2$ con $f(x_1,y) = f(x_2,y) = 0$ y $x_1 \ne x_2$ ya que esto implicaría $x(y) = x_1$ y $x(y) = x_2$ en contradicción con $x_1 \ne x_2$ Así que $x(y)$ no puede ser una función. La unicidad de las soluciones de $f(x,y) = 0$ para cualquier $y$ Por lo tanto, sería necesario que $x(y)$ para ser una función.