El espacio de la tangente de un conjunto de nivel de

Question

Estoy empezando mis estudios de colectores y todavía estoy tratando de entender los conceptos básicos. La pregunta que quiero hacer es simple: ¿cómo puedo conseguir la base de que el espacio de la tangente de un colector define como un conjunto de nivel de una función? Me voy a dar un ejemplo:

Imaginar la superficie de la $M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x+x^2+y^2=2\}$. Esto es claramente un circunference centrado en el punto de $(-\frac{1}{2},0)$. Podemos describir de dos maneras:

1)Una parametrización. Deje $\Psi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2;u\mapsto(cos(u)-\frac{1}{2}, sin(u))$. A continuación, la base del colector en un punto de $p\in M$ es el vector que sale de la matriz Jacobiana, en este caso:$$\frac{d}{du}|_p = \begin{pmatrix} -sin(u) \\ cos(u) \\ \end{pmatrix}$$

2) Un conjunto de nivel (creo que esto se llama una inmersión, pero no estoy seguro). Si definimos $F:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R};(x,y)\mapsto x+x^2+y^2-2$$F^{-1}(0)=M$. Sabemos que:$$T_p M=Ker[J(F,p)]$$ where $T_p M$ is the tangent space at $p$ and $J(F,p)$ is the Jacobian Matrix at $p$.

¿Cómo proceder a partir de aquí, para determinar la base del Espacio de la Tangente? ¿Cómo funciona este generalizar para cualquier superficie?

Answer 1

No parece haber ninguna manera general para abordar este problema, pero para calcular el kernel en cada caso. Por ejemplo, en (2), ${\sf D}F(x,y)$ se identifica con el gradiente $\nabla F(x,y) = (1+2x, 2y)$, e $T_{(x,y)} F^{-1}(0) = \nabla F(x,y)^\perp$. El espacio de la tangente en este caso es la tangente de la línea, por lo que una dirección de la línea dada por $(1+2x,-2y)$ (el vector obtenido al rotar $\nabla F(x,y)$$\pi/2$).

En general, una suave mapa de $F\colon \Bbb R^n \to \Bbb R^k$ se llama una inmersión si ${\sf D}F(p)$ es surjective para todos los $p \in \Bbb R^n$, y en este caso $F^{-1}(0)$ es un integrado submanifold de $\Bbb R^n$ de la dimensión de $n-k$,$T_p F^{-1}(0) = \ker {\sf D}F(p)$. Se puede representar a ${\sf D}F(p)$ $k\times n$ matriz y calcular su kernel usando lo que has aprendido en un primer curso de álgebra lineal.