El valor de $\prod_2^\infty \left(1-2/(n(n+1))\right)$

Question

Estoy tratando de encontrar el valor de $\prod_2^\infty \left(1-2/(n(n+1))\right)$. Hasta ahora tengo el siguiente. \begin{align*} \prod_2^\infty \left(1-2/(n(n+1))\right) &= (1-2/6)*(1-2/12)*(1-2/20)*(1-2/30)... \\&= (1-1/3)*(1-1/6)*(1-1/10)*(1-1/15)... \\&= (2/3)*(5/6)*(9/10)*(14/15)... \\&= (2/3) * ((1*5)/(2*3)) * ((3*3)/(5*2)) * ((2*7)/(3*5))... \end{align*} El parcial del producto con los primeros cuatro términos es igual a $(1/3)*(7/5)$ porque casi todo lo cancela. Yo afirmación de que el término que $(1/3)$ se multiplica por llega a cero, ya que va de $5/3$ $3/2$ % # % ... (haciendo que el valor de $7/5$), pero no sé la fórmula explícita para cada factor de cada término, así que no puedo probarlo. ¿Alguien sabe la fórmula explícita de los factores?

Answer 1

$$\prod _{ 2 }^{ \infty } \left( 1-\frac { 2 }{ n\left( n+1 \right) } \right) =\prod _{ 2 }^{ \infty } \left( \frac { { n }^{ 2 }+n-2 }{ n\left( n+1 \right) } \right) =\prod _{ 2 }^{ \infty } \left( \frac { \left( n+2 \right) \left( n-1 \right) }{ n\left( n+1 \right) } \right) =\\ =\prod _{ 2 }^{ \infty } \frac { n+2 }{ n+1 } \cdot \prod _{ 2 }^{ \infty } \frac { n-1 }{ n } =\\ =\left( \frac { 4 }{ 3 } \cdot \frac { 5 }{ 4 } \cdot \frac { 6 }{ 5 } .... \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot \frac { 3 }{ 4 } ... \right) =\color{blue}{\frac { 1 }{ 3 }} $$