Punto de unidad de cubo

Question

Un punto de $(x,y,z)$ es elegido de la unidad de cubo.

¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación de $xt^2+yt+z=0$ tiene raíces reales?

Answer 1

Tenga en cuenta que:

$xt^2+yt+z=0$ tiene raíces reales si $y^2-4xz\geq 0$

Por lo tanto la solución está dada por el volumen de la región:

$$\begin{cases}0\leq x,y,z \leq 1\\ y^2-4xz\geq 0\end{casos}\implies2\sqrt{xz}\leq y\leq 1 \de la tierra xz\leq\frac14$$

Que es:

$$\int_0^\frac14\int_0^1\int_{2\sqrt{xz}}^1 \,dy\,dz\,dx+\int_\frac14^1\int_0^\frac{1}{4x}\int_{2\sqrt{xz}}^1 \,dy\,dz\,dx=\frac{5}{36}+\frac{\log 2}{6}\approx 0.254413$$

Integral 1

Integral 2