$SL(n, \mathbb C)$ Punto crítico en una representación

Question

Sea V una representación de dimensión finita de $SL(n, \mathbb C)$ . Supongamos que $V$ está dotado de una métrica hermitiana y que tenemos $v \in V$ tal que $|g \cdot v| \geq |v|$ por cada $g \in SL(n, \mathbb C)$ . Esto equivale a la afirmación de que $l(g):=\langle g\cdot v, v \rangle + \langle v, g \cdot v \rangle = 0$ por cada $g \in \mathfrak{sl_n}$ .

¿Por qué? El hecho de que $g=1$ es un punto crítico para el mapa $g \to |g\cdot v|$ me sugiere que algo podría ocurrir en el espacio tangente a ella, a saber $\mathfrak{sl_n}$ . Eso es todo lo que se me ocurre.

Gracias.

Answer 1

Una forma rápida y sucia de verlo (el argumento es sólido, sin embargo - si tienes tiempo, podrías desarrollarlo en un argumento adecuado usando límites) sería la siguiente, supongo:

Considere un elemento del grupo cercano a la identidad y expándalo como $$M\approx\mathbb{1}+ m\,,$$ donde $m \in \mathfrak{sl_n}$ . (Tenga en cuenta que el uso de $g$ tanto para un grupo como para un elemento del álgebra es algo engañoso). Entonces $$\left\|M\cdot v\right\|^2\approx \left\|\left(1+m\right)v\right\|^2=\left<\left(1+m\right)v,\left(1+m\right)v\right>\\ =\left<v,v\right>+\underbrace{\left<mv,v\right>+\left<v,mv\right>}_{l(m)}+\left<mv,mv\right>\\ \stackrel{!}{\geq} \left<v,v\right>\,.$$

Supongamos ahora que $l(m)$ es distinto de cero. Si es positivo se puede cambiar $m\to-m$ para que sea negativo. Si todavía $l(m)+\left<mv,mv\right>>0$ , se reescalan $m\to\lambda m$ para hacer que el segundo término sea más pequeño, y terminas con $$\left\|M\cdot v\right\|^2\approx \left\|\left(1+m\right)v\right\|^2 =\left<v,v\right>+\underbrace{l(m)+\left<mv,mv\right>}_{\text{negative}}\\ < \left<v,v\right>\,,$$ es decir, una violación de su condición.

La idea clave es que $l(m)$ como la contribución dominante a $\left\|M\cdot v\right\|^2$ es lineal en $m$ por lo que puede ser positivo o negativo (y ciertamente es negativo en alguna parte si no es cero en todas partes).

Si quiere utilizar derivados, es aún más sencillo: escriba $M=e^{t g}$ con un parámetro $t$ y $g \in \mathfrak{sl_n}$ . Entonces $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left\|Mv\right\|^2\bigg|_{t=0}= l(g)\,,$$ es decir, hay direcciones en las que $\left\|Mv\right\|^2$ disminuye si $l(g)\neq 0$ .