He tomado prestada la idea de la Bourbaki la prueba de Krull-Akizuki teorema.
Lema 1
Dejar que Un ser débilmente Artinian integral de dominio.
Deje $M$ ser una torsión $A$-módulo de finito tipo.
A continuación, $leng_A M$ es finito.
Prueba:
Deje $x_1, ..., x_n$ a ser la generación de elementos de $M$.
Existe un elemento no nulo $f$ $A$ tal que $fx_i = 0$, $i = 1, ..., n$.
Deje $\psi:A^n \rightarrow M$ ser el de morfismos definido por $\psi(e_i) = x_i$, $i = 1, ..., n$,
donde $e_1, ..., e_n$ es la base canónica de $A^n$.
Desde $leng_A A^n/fA^n$ es finito y $\psi$ induce un surjective mophism $A^n/fA^n \rightarrow M$, $leng_A M$ es finito.
QED
Lema 2
Dejar que Un ser débilmente Artinian integral de dominio.
Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$.
Deje $M$ ser una de torsiones $A$-módulo de finito tipo.
Deje $r = dim_K M \otimes_A K$.
Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A$.
A continuación, $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$
Prueba:
Existe una $A$-submódulo $L$ $M$ tal que $L$ es isomorfo a $A^r$ $Q = M/L$ es una de torsión módulo de finito de tipo más de $A$.
Por lo tanto, por el Lema 1, $leng_A Q$ es finito.
Deje $n \geq 1$ ser cualquier número entero.
El núcleo de $M/f^nM \rightarrow Q/f^nQ$ $(L + f^nM)/f^nM$ que es isomorfo a $L/(f^nM \cap L)$.
Desde $f^nL \subset f^nM \cap L$,
$leng_A M/f^nM \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q/f^nQ \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q$.
Desde $M$ es de torsiones, $f$ induce isomorfismo $M/fM \rightarrow fM/f^2M$.
Por lo tanto $leng_A M/f^nM = n(leng_A M/fM)$.
Del mismo modo $leng_A L/f^nL = n(leng_A L/fL)$.
Por lo tanto $leng_A M/fM \leq leng_A L/fL + (1/n) leng_A Q$.
Desde $L$ es isomorfo a $A^r$, $leng_A L/fL = r(leng_A A/fA)$. Por lo tanto, dejando $n \rightarrow \infty$, $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$.
QED
Lema 3
Dejar que Un ser débilmente Artinian integral de dominio.
Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$.
Deje $M$ ser una de torsiones $A$-módulo.
Supongamos $r = dim_K M \otimes_A K$ es finito.
Deje $f$ ser un elemento no nulo de a $A$.
A continuación, $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$
Prueba:
Deje $(M_i)_I$ ser parte de la familia de finitely generadas $A$-submódulos de $M$.
$M/fM = \cup_i (M_i + fM)/fM =\cup_i M_i/(M_i \cap fM)$.
Desde $fM_i \subset M_i \cap fM$, $M_i/(M_i \cap fM)$ es isomorfo a un cociente de $M_i/fM_i$.
Por lo tanto, por el Lema 2, $leng_A M_i/(M_i \cap fM) \leq r(leng_A A/fA)$.
Por lo tanto, Por el Lema 4 de este, $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$
QED
Lema 4
Dejar que Un ser débilmente Artinian integral de dominio.
Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$.
Deje $L$ ser finito campo de la extensión de $K$.
Deje $B$ ser un sub-anillo de $L$ contiene $A$.
A continuación, $leng_A B/fB$ es finito para cada elemento no nulo $f \in B$.
Prueba:
Desde $L$ es una extensión finita de $K$, $a_rf^r + ... + a_1f + a_0 = 0$, donde $a_i \in A, a_0 \neq 0$.
A continuación,$a_0 \in fB$.
Desde $B \otimes_A K \subset L$, $dim_K B \otimes_A K \leq [L : K]$.
Por lo tanto, por el Lema 3, $leng_A B/a_0B$ es finito.
Por lo tanto $leng_A B/fB$ es finito.
QED
La prueba del teorema de título
Por el Lema 2 de mi respuesta a esto, $B$ es débilmente Artinian.
Por lo tanto, por esto, hemos terminado.
QED
