Integral de$\frac{1}{x^2+1}$ usando fracciones parciales complejas.

Question

¿Hay alguna manera de evaluar la siguiente integral a través de una descomposición compleja de fracción parcial? $$ \int \dfrac{1}{x^2 + 1} \text{ d}x $$ So far I have: $$ \begin{aligned} \int \dfrac{1}{x^2 + 1} \text{ d}x & = \dfrac{1}{2i} \int \dfrac{1}{x-i} \text{ d}x - \dfrac{1}{2i} \int \dfrac{1}{x+i} \text{ d}x \\ & = \dfrac{1}{2i} \log \left| \dfrac{x-i}{x+i} \right| + \mathcal{C} \end{aligned} $ $ Sé que la integral de una función con valor real es una función con valor real, entonces, ¿cómo tomo la parte real de este resultado final?

Answer 1

Bueno, la parte imaginaria es$0$, así que solo necesitas simplificarla. Considere la inversa de$\tan x$ donde$\displaystyle\tan{x}=\frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$.

Answer 2

Usando la siguiente identidad para el logaritmo de un número complejo:$$\log(a+ib)=\log|a+ib|+i\arg(a+ib)=\log\sqrt{a^2+b^2}+i\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ $ resulta en$$\frac{1}{2i}\log\left|\frac{x-i}{x+i}\right|=\frac{1}{2i}(\log|x-i|-\log|x+i|)=-\frac{1}{2i}(2i\tan^{-1}\frac{1}{x})=-\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ $ Usando la propiedad recíproca de la función arcotangente, tenemos para$x>0$$$-\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan^{-1}x-\frac{\pi}{2}$% $ y para$x<0$$$-\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan^{-1}x+\frac{\pi}{2}$ $ Incorporando el$\pm\frac{\pi}{2}$ en el término constante, la integral es por lo tanto$$\tan^{-1}x+C$ $