Encontrar número de homomorphisms de $\mathbb{Z} \to S_3$

Question

He aquí una pregunta que estoy tratando de resolver:

Deje $a$ el número de grupo homomorphisms $\mathbb{Z} \to S_3$ ; deje $b$ el número de este tipo de un grupo homomorphisms; deje $c$ ser el número de estos en el grupo de homomorphisms. Encontrar $(a,b,c)$.

Yo reclamo que $c=0$. Prueba de mi afirmación: Supongamos que hay algunos en homomorphism $\varphi : \mathbb{Z} \to S_3$. Desde $\mathbb{Z}$ es cíclica y, a continuación, $\varphi (\mathbb{Z})= S_3$ sería cíclico y por lo tanto abelian que es una contradicción.

También que $b=0$ es que no podemos encontrar ninguna asignación $\varphi$, que es uno-uno.

Ahora, la búsqueda de $a$ es un gran problema. Esta es mi idea de cómo encontrar $a$: Lagrange del Teorema nos dice que no puede ser cada subgrupo de $S_3$ es cualquiera de los órdenes: $1,2,3,6$. Y sabemos que $\varphi (\mathbb{Z})$ es un subgrupo de $S_3$, así que he intentado manualmente para encontrar las asignaciones. La respuesta que se obtiene es $6$. Me preguntaba si había alguna manera más fácil de hacer en lugar de forma explícita encontrar el homomorphisms.

Otra pregunta quiero preguntar: Es el número de en homomorphism de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$ es igual al número de generadores $\mathbb{Z}_n$ i.e $\phi (n)$? Yo no buscar la prueba, pero me preguntaba si era cierto.

Answer 1

Para dar una idea más elaborada respuesta : tenga en cuenta que si $\phi : \Bbb Z \to S_3$ es un homomorphism, a continuación, para todos los $z \in \mathbb Z$,$\phi(z) = (\phi(1))^z$. No hay ninguna otra restricción : tenga en cuenta que $0$ mapa a$0$, de todos modos, y $\phi(1)$ puede ser cualquier elemento de $S_3$. Esto nos da SEIS homomorphisms en esta dirección.

Para $\phi$ a ser inyectiva, el núcleo de $\phi$ debe ser trivial. Sin embargo, tenga en cuenta que el kernel no puede ser no trivial. Esto es debido a que, cada elemento de la $S_3$ ha pedido dividiendo $6$, y por lo tanto, si $\phi$ es cualquier hommomorphism, a continuación,$\phi(6) = (\phi(1))^6 = e$, lo $6 \in \ker \phi$, por lo tanto $\phi$ no es inyectiva.

Para cualquier homomorphism $\phi$, la imagen de $\phi$ es generado por $\phi(1)$ es decir $\langle\phi(1)\rangle$. Esto no puede ser igual a $S_3$ desde $S_3$ no es cíclica, por lo tanto no puede ser generado por un elemento. En consecuencia, no homomorphism es surjective.

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Como para la respuesta a la segunda pregunta, efectivamente $\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z_n$ a, si y sólo si $\langle\phi(1)\rangle = \mathbb Z_n$, si y sólo si $\phi(1)$ a ser un generador de $\mathbb Z_n$, si y sólo si (a cualquier representante de la clase de equivalencia) $\phi(1)$ es coprime a $n$. Hay exactamente $\phi(n)$ opciones para esta $\phi(1)$, y, en consecuencia, exactamente los muchos en homomorphisms.