¿Cómo encontrar el valor del $20^\text{th}$ derivado de la función en el punto concreto?

Question

Tenemos función $\arcsin(x)$. ¿Cómo encontrar su derivado de $20^\text{th}$ $x = 0$? Realmente no tengo ni idea a menos que obtenga ese derivados manualmente uno por uno. También, he tratado de conseguirlo con ayuda de ordenador, la función de que obtener es algo terrible. También puede ser resuelto con la fórmula de Leibniz, pero es demasiado difícil (mi mente).

Answer 1

Sugerencia: Puesto que tenemos $$(\arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $ podemos escribir

$$(1-x^2)^{-1/2}=(1-x)^{-1/2}(1+x)^{-1/2}$ $ $$((1-x)^{-1/2})'=-\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}(-1)=1/2(1-x)^{-3/2}$ $ Es $$f^{(20)} (x) = 1856156927625\, {x \left (65536\, {x} ^ {18} +5603328\, {x} ^ {16} +95256576\, {x} ^ {14} +555663360\, {x} ^ {12} +1354429440\, {x} ^ {10} +1489872384\, {x} ^ {8} 744936192\, {x} ^ {6} +159629184\, {x} ^ {4} +12471030\, {x} ^ {2} +230945 \right) \left (-\left (x-1 \right) \left (x +1 \right) \right) ^ {-{\frac{39}{2}}} $$

Así $$f^{(20)}(0)=0$ $

Answer 2

La respuesta es cero.

Tenga en cuenta que en la serie de Taylor de $$\sin ^{-1} x$$ the coefficients of the even powers of $x $ are $0$ porque se trata de una función impar.

Bueno, el derivado XX aparece en el coeficiente de $x^{20}$ $$\frac {f^{(20)}(x)}{20!}$ $ que

Por lo tanto el $$ f^{(20}(x)=0$ $

Answer 3

$$y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\implies(1-x^2)(y')^2=1$$

Distinguir ambos lados wrt $x$

$$(-2x)(y')^2+2(1-x^2)y'' y'=0$$

Como $y'\ne0,$ % $ $$xy' - (1-x^2)y''=0\ \ \ \ (1)$

Por regla General Leibniz $n(\ge2)$ th % derivados $$xy_{n+1}(x)-\binom n1yn(x)-(1-x^2)y{n+2}(x)-\binom n1(-2x)y_{n+1}(x)-\binom n2(-2)y_n(x)=0$$

En el $x=0,$ % $ $$-\binom n1yn-y{n+2}(0)+2\binom n2y_n(0)=0$

$$\iff y_{n+2}(0)=n(n-2)y_n(0)$$

Ahora por $(1)$ $x=0, y''=-xy'=0$

Answer 4

La diferenciación actuará en una serie descomposición $$ f (x) = \sum a_n x ^ n $$ que para una función impar sólo tiene términos con potencias impares. $ $ (X ^ n)' = n x ^ {n-1} $$ cada diferenciación moverá de un tirón una función impar para un uno, y cada segunda diferenciación resultará en una función impar otra vez.

$20=10\cdot 2$ así que terminamos con una función impar.

Answer 5

Suponga que tiene una función odd $f(x)$. A continuación, podemos demostrar que la derivada de esta función es aún uno. La diferenciación que da otra vez como una copia de una función impar. Continua como la que podemos tener la siguiente regla: $$f^{(2n-1)}(x) \text{ is even and }f^{(2n)}(x) \text{ is odd for } n\in\mathbb{N} $$ En nuestro caso la configuración de $f(x) = \arcsin(x)$ podemos concluir que f es impar desde $\arcsin(x)$, por definición, es impar. Teniendo en cuenta la regla anterior, podemos decir que el $f^{(20)}(x)$ es impar. Pero sabemos que para cualquier función odd $g(x)$ tenemos que $g(0)=0$ (supongo que eres consciente de ello). Por lo $f^{(20)}(0)=0$.

Me gustaría que me ayudaron!!!