¿Hay un $G$-equivariante bijection $h: G/X \to G/Y$?

Question

Que $X$ $Y$ ser subgrupos de un grupo $G$ que hay $G$-equivariante mapas $f: G/X \to G/Y$ y $g: G/Y \to G/X$. ¿Hay un $G$-equivariante bijection $h: G/X \to G/Y$?

Answer 1

Tenga en cuenta que existe un $G$-equivariant mapa de $f:G/X\to G/Y$ fib algunos conjugado de $X$ está contenido en $Y$, y hay un $G$-equivariant bijection iff algunos conjugado de $X$ es igual a $Y$. Así que la pregunta es, si $gXg^{-1}\subseteq Y$ $hXh^{-1}\supseteq Y$ algunos $g,h\in G$ debe $X$ ser conjugado de a $Y$?

La respuesta es no. Por ejemplo, arreglar cualquier grupo $X$ con subgrupos $X'\subset Y\subset X$ tal que $X\cong X'$ $X\not\cong Y$ (por ejemplo, $X$ ser libre en dos generadores, $Y$ cualquier subgrupo de $X$ que es libre en más de dos generadores, y $X'$ el subgrupo de $Y$ generado por dos de sus generadores). Deje $i:X\to X$ ser un inyectiva homomorphism cuya imagen es $X'$. Deje $L$ directo límite del diagrama de $X\stackrel{i}\to X\stackrel{i}\to X\stackrel{i}\to X\stackrel{i}\to X\stackrel{i}\to\dots$ obtenido en varias ocasiones el appying $i$. A continuación, $L$ tiene un automorphism $\alpha:L\to L$ obtenido por el cambio de cada copia de $X$ hacia adelante (para la primera copia en el diagrama se convierte en la segunda, la segunda se convierte en la tercera, y así sucesivamente). Por último, vamos a $G$ ser el semidirect producto $L\rtimes\mathbb{Z}$ donde $\mathbb{Z}$ actúa en $L$ través $\alpha$. A continuación, tome la primera copia de $X$ $L$ y la copia de $Y$ dentro de él como subgrupos de $G$. Tenemos $Y\subset X$, e $X$ es conjugado para el subgrupo $X'\subset Y$ través $-1\in\mathbb{Z}$. Pero $X$ $Y$ son no isomorfos, por lo que no se puede conjugar en $G$.