¿Cuál es la importancia de la conjetura de Poincaré?

Question

La conjetura de Poincaré está catalogada como uno de los problemas del Premio del Milenio y ha recibido considerable atención de los medios de comunicación cuando Grigori Perelman presentó una demostración de esta conjetura hace unos años. Pero, ¿por qué es interesante en absoluto? ¿Qué prácticas e interesantes preguntas se pueden contestar ahora que esta conjetura se prueba?

Answer 1

Aunque estoy seguro de que un experto podría dar mucho más informativo respuesta, permítanme darles un ingenuo. En matemáticas estamos siempre interesados en los resultados de clasificación. Si queremos entender un objeto que se produce en algunos problema y tenemos un resultado de clasificación para el tipo de objeto, se puede utilizar para ganar tracción en el problema. Por ejemplo, podemos utilizar la clasificación de semisimple álgebras de Lie o la clasificación de los finitos simples grupos de todo el tiempo.

La conjetura de Poincaré es parte de una clasificación, similar esfuerzo, pero para el cerrado de 3-variedades. Ahora, cerrado de 2 colectores tienen una bien entendida de la clasificación en un par de sentidos; hay una clasificación topológica, y también hay un geométrica de la clasificación. La clasificación de estos resultados nos permiten abordar muchos de los problemas que implican las superficies, tales como las superficies de Riemann , que se producen cuando una analíticamente sigue un holomorphic función. Así que es natural que se busque una correspondiente resultado de clasificación en las dimensiones superiores. (Periodismo científico en esta se justifica diciendo que topologists están tratando de comprender la forma del universo, o algo así; usted debe sentirse libre para tomar esta justificación o salir de él.)

La clasificación topológica de las superficies de la muestra, en particular, que una superficie se determina hasta homeomorphism por su integral de homología, por lo que es natural preguntarse si el mismo es cierto para las 3-variedades. Por desgracia, no; no es un ejemplo famoso de una 3-variedad con la misma homología como una esfera, pero que no es homeomórficos. Una manera de demostrar que esto es para mostrar que tiene un trivial grupo fundamental, por lo que ahora la pregunta natural que surge es si esto es suficiente para identificar de forma exclusiva la 3-esfera. (Si es así, entonces el problema de decidir si una 3-variedad es la 3-esfera es, en cierto sentido puramente algebraica, y en la topología es siempre deseable para reducir topológico preguntas para algebraicas desde que los últimos tienden a ser más fácil.)

El problema se hizo famoso en parte porque era extremadamente difícil y en parte porque muchos matemáticos dio incorrecta de las pruebas. Esto es a menudo cómo los problemas de ser famoso; si un problema en un campo es difícil que indica que las herramientas del campo no son suficientes para abordar con facilidad, por lo que el problema incita a las personas a mejorar esas herramientas.

Perelman terminó por demostrar la conjetura de Poincaré demostrando un mayor resultado, la conjetura de geometrización, que es el análogo para las 3-variedades del teorema de uniformización. Así que trabajar en la conjetura de Poincaré ha llevado a una comprensión más profunda de las 3-variedades en general. No sólo eso, sino que el trabajo de Perelman introdujo importantes técnicas que ahora puede ser utilizada en otros problemas.

Answer 2

La idea fundamental detrás de la topología algebraica es traducir topológico de problemas en diferentes problemas de álgebra. Al hacerlo, uno es capaz de tira innecesarios estructura de distancia desde el estudio de los colectores, la reduce a un tema que puede ser abordado por el grupo de métodos teóricos.

Un problema típico en la topología sería, dado un grupo de $G$, para clasificar a la $n$-colectores con el grupo fundamental de la $G$. El grupo más fácil de lo que uno podría pedir a esta pregunta es la trivial grupo, y la respuesta de $n=3$ es la Conjetura de Poincaré. Poincaré de la visión original luego habría sido, usando este resultado y las técnicas que se utilizan para demostrar como un trampolín, para luego clasificar a $3$-variedades más interesantes fundamental grupos $G$. La idea habría sido para imitar la clasificación de orientables superficie cerrada por la característica de Euler. Al hacerlo, $3$-colector de topología se reduciría a una rama de la teoría de grupos. Espero que vamos a ver todavía una importante labor en este sentido.

Pero ocurrió una cosa maravillosa. En lugar de la Conjetura de Poincaré sólo la remoción de la estructura de $3$-colector de topología, su prueba resultó revelan un mayor, más rica estructura en 3-variedades. JSJ descomposición y la geometrización significa que cualquier $3$-colector puede ser equipado con mucha más estructura que se ve a primera vista.

Así, por un lado, la Conjetura de Poincaré dio un resultado de clasificación - no hay exóticos "patológico" homotopy esferas que caen a través del tamiz grueso de los básicos de la topología algebraica. Por otro lado, era un indicador visible que reside en un dominio que no entendíamos, y desde el principio quedó claro que el proceso de ejecución para que la bandera y el acaparamiento que se traduciría en mejoras sustanciales para $3$-variedad topológica de la comprensión; esto es en realidad lo que sucedió.