Dado que$18|n^3$, ¿podemos concluir$18|n^2$?

Question

¿Teniendo en cuenta que $18|n^3$, podemos concluir $18|n^2$?

He estado trabajando en esto mucho, y hasta ahora he determinado de la facturización de $18$, que $2|n$ y $3|n$. Por lo tanto también sabemos que $6|n$. No sé cómo hacer esto sin embargo demostrar que $18|n^2$.

¿Podríamos decir desde $6|n$, $36|n^2$, o es una afirmación inexacta?

Answer 1

Escribir $n=p_1p_2\cdots p_k$, donde el $p_i$ es de los primeros (no podrían ser algunas de las repeticiones). A continuación,$n^3=p_1^3p_2^3\cdots p_k^3$. Si $18=3^2\cdot 2$ divide $n^3$, entonces al menos uno de los $p_i$ es igual a $3$ y uno es igual a $2$, por lo que la reordenación asumimos $p_1=2$$p_2=3$. Pero, a continuación, $n^2=p_1^2p_2^3\cdots p_k^2=2\cdot 18 p_3^2\cdots p_k^2$ es divisible por $18$.

Usted puede generalizar esto para probar el hecho siguiente: Supongamos que $m$ $n$ $k$ tal forma que:

1. los poderes de los distintos números primos que aparecen en el primer descomposición de $m$ están todos en la mayoría de los $k$;
2. $m$ divide $n^l$ algunos $l\geq k$.

A continuación, $m$ divide $n^k$.