Problemas al integrar $\sec x$

Question

Tengo que evaluar la integral de la función $\sec x$ y lo hago de la siguiente manera $$\int\sec xdx=\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos x}dx=\sin x+\int\frac{\sin^2x}{\cos x}dx$$ Ahora hacemos un cambio de variable $\cos x=t$ y nuestra integral se convierte en $$\sin x-\int\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}dt$$ Ahora hacemos otro cambio de variable $\sqrt{1-t^2}=z$ y nuestra integral se convierte en $$\sin x-\int\frac{z^2-1+1}{z^2-1}dz=\sin x-\int\left(1+\frac{1}{z^2-1}\right)dz=$$ $$=\sin x-\sqrt{1-\cos^2x}+\frac12\ln\left|\frac{1+\sqrt{1-\cos^2x}{}}{1-\sqrt{1-\cos^2x}}\right|+C=\frac12\ln|\tan^2x+\sec^2x|+C$$ Sin embargo, la calculadora evalúa esta integral como $$\ln|\tan x+\sec x|+C$$ pero no puedo averiguar dónde cometí un error en mis cálculos.

Answer 1

La forma rápida:

$$\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos x\,dx}{\cos^2x}=\int\frac{\sin'x\,dx}{1-\sin^2x}=\text{artanh}(\sin x).$$

Answer 2

Pista: Usa el truco \begin{align} \sec x= \frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x} \sec x. \end{align> luego haz una sustitución de $u$.

Answer 3

Solo otro enfoque: $\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^ {2x}}=\frac{\cos x}{1-\sin^{2x}}$. Y realizando una sustitución $cosx=t$ en $\int\frac{{\cos}xdx}{1-\sin^{2x}}$ da como resultado una integral factible.